Sly mathematics. Open tasks/Хитрая математика. Открытые задачи

Try, dear friends, to solve the following simple task. "The boy was given five apples, and then two more." How many apples did the boy have? "

It would seem - and what is the solution here: 5 + 2 = 7. That's right, but this is only one of the possible correct answers. Do you think that I'm making fun of you? In no case! It's just that we do not have any information about how many apples the boy had before somebody began to spill the first five. Solving this problem, we decided (not resting on anything) that at the beginning of the story there was zero apples. And if the boy already had a box of apples?

Although, how is it "not resting on anything"? Very even relying on: the school course of mathematics. After all, almost all the tasks that we had to solve at school had exactly this character - an obvious sufficient condition and one correct answer. Tasks of this type are called "closed" or "convergent". And young schoolchildren are trained to solve exactly such problems. And are they often found in everyday life? Even for this question each of us will have his own and, most importantly, the right answer. The reality confronts us with the need to be able to understand quite different, so-called "open, divergent problems" in which conditions may not suffice (and it is necessary to decide) or some conditions will be superfluous, completely unnecessary, and we, from the habit received at school , we will try to take into account them (after all, if it is in given, then it must be used somehow in the solution). The most difficult option is when the conditions presented in the task are false.

Another example, this time from LZ Shautsukova's textbook "Informatics 10-11" (by the way, a very good textbook). Given a logical problem with the following conditions:

1. Irena, Timur, Camilla, Eldar and Zalim (for the author of the textbook, for some reason, such strange names in all problems) became winners of the Olympiads in physics, mathematics, computer science, literature and geography;

2. The winner of the Olympiad in Informatics teaches Irene and Timur work on the computer;

3. Camille and Eldar were also interested in computer science;

4. Timur was always afraid of physics;

5. Camilla, Timur and the winner of the Olympiad in literature are engaged in swimming;

6. Timur and Camilla congratulated the winner of the Olympiad in mathematics;

7. Irena regrets that she has little time for literature.

The winner of which Olympiad was each of these guys? "

Consider the fourth condition, which should lead us to the idea that Timur is not the winner of the physical Olympiad. But this is not a fact! He can be "afraid" of this fucking physics and still occupy the first place. And the message that Irena complains about the lack of time for literature should generally lead to a conclusion that is the opposite of "right." In the textbook, she did not take the first place in literature, but, based on the last condition, Irena is the winner of the Olympiad in this subject (since the girl is a fan of literature, it seems to her that time is not enough for her favorite science). Thinking children just started arguing in this task with the author's decision. And I fully agree with them.

A reckless opinion may arise that we do not need closed tasks at all. But this is not so. After all, it is very convenient for them to work out algorithms of specific solution methods, which can then be used to solve problems of an open type.

Попробуйте, уважаемые друзья, решить следующую нехитрую задачку. "Мальчику дали пять яблок, а потом ещё два. Сколько всего стало яблок у мальчика?"

Казалось бы - а чего здесь решать-то: 5+2=7. Верно, но это лишь один из возможных правильных ответов. Думаете, что я над вами издеваюсь? Ни в коем случае! Просто у нас нет никакой информации о том, сколько яблок было у мальчика до того, как кто-то стал ему отсыпать первые пять. Решая эту задачку, мы сами решили (ни на что не опираясь), что у него в начале истории было нуль яблок. А если у мальчика уже был ящик яблок?

Хотя, как это "ни на что не опираясь"? Очень даже опираясь: на школьный курс математики. Ведь практически все задачи, которые нам приходилось решать в школе, имели именно такой характер - очевидное достаточное условие и один правильный ответ. Задачи такого типа принято называть "закрытыми" или "конвергентными". И юных школьников натаскивают решать именно такие задачи. А часто ли их можно встретить в обычной повседневной жизни? Даже на этот вопрос у каждого из нас будет свой и главное - правильный - ответ. Реальность сталкивает нас с необходимостью уметь разбираться в совсем иных, так называемых "открытых, дивергентных задачах", в которых может не хватать условий (а решать надо) или какие-то условия будут лишними, совершенно ненужными, а мы по привычке, полученной в школе, будем пытаться учитывать и их (ведь, если это есть в дано, значит это надо как-то использовать при решении). Самый сложный вариант, когда условия, представленные в задаче - ложные.

Ещё один пример, на этот раз из учебника Л. З. Шауцуковой "Информатика 10-11" (кстати, очень неплохой учебник). Дана логическая задача со следующими условиями:

1) Ирена, Тимур, Камилла, Эльдар и Залим (у автора учебника почему-то во всех задачах такие странные имена) стали победителями олимпиад по физике, математике, информатике, литературе и географии;

2) Победитель олимпиады по информатике учит Ирену и Тимура работе на компьютере;

3) Камилла и Эльдар тоже заинтересовались информатикой;

4) Тимур всегда побаивался физики;

5) Камилла, Тимур и победитель олимпиады по литературе занимаются плаванием;

6) Тимур и Камилла поздравили победителя олимпиады по математике;

7) Ирена cожалеет о том, что у нее остается мало времени на литературу.

Победителем какой олимпиады стал каждый из этих ребят?"

Рассмотрим четвёртое условие, которое должно навести нас на мысль, что Тимур не является победителем физической олимпиады. Но ведь это не факт! Он может "побаиваться" этой чёртовой физики и всё равно занимать первые места. А сообщение о том, что Ирена жалуется на нехватку времени на литературу, вообще должно приводить к заключению, противоположному "правильному". В учебнике она не заняла первого места по литературе, но, исходя из последнего условия, Ирена и есть победитель олимпиады по этому предмету (поскольку девочка - фанат литературы, то ей и кажется, что на любимую науку времени всё время не хватает). Думающие дети как раз и начинали спорить в этой задачке с авторским решением. И я с ними полностью солидарен.

Может возникнуть опрометчивое мнение, что закрытые задачи нам вовсе не нужны. Но это не так. Ведь именно на них гораздо удобно отрабатывать алгоритмы конкретных методов решения, которые затем уже можно применять при решении задач открытого типа.