주말에 사촌에게 했던 아르키메데스의 유레카 관련 이야기를 살짝 정리해 보았다.

사실 엄밀히 말하면 아르키메데스의 금관이 아니라 히에로 왕의 금관이긴 하다. [이 히에로는 아르키메데스의 친척이라는 설이 있다.- 아르키메데스 왕족 설? ㅎㅎ 고대 시절에 수학과 과학을 공부했다는 것은 이미 삶에 여유가 있었다는 것을 의미하니까..]

당시 히에로 왕은 금관을 제조하면서 제조자를 믿지 못했다. 그는 왕관이 손상되지 않도록 하고 이 금관이 순수 금으로 이루어져 있는지 알고 싶어했다. 이 금관에 은이 섞여 있는지 알아내기 위해 목욕을 하다가 그는 부력의 원리(혹은 아르키메데스의 원리라고도 한다.)를 알아냈고, 이로 유레카를 외치며 발게벗고 돌아다녔다, 란 것이 잘 알려진 이야기이다.

이 부력의 원리는

유체 속에서 물체가 받는 부력은 그 물체가 차지하는 부피만큼 해당하는 유체의 무게와 같다

란 건데 자 이게 외 중요한 키가 되는지 생각해보자.

우리는 물체를 측정할 때 주로 무게와 부피를 측정한다. 하지만 이 무게와 부피는 사실 물체의 고유한 값이 아니다. 무슨말이냐면 물 1L 와 우유 1L 는 같은 부피를 가졌고. 물 1kg 과 우유 1kg 는 같은 무게를 가졌지만 물과 우유는 서로 다른 물질이다.

무게와 부피의 양이 같다고 [하나씩만 비교했을 때] 하여 그 것이 같은 물체가 아니라는 것이다.

물체의 성질을 구별해주는 것은 무게와 부피가 아니라 이것의 비율인 밀도이다. [주의 : 밀도는 항상 일정한 것이 아니다]

물 1L 와 우유 1L 는 부피로서 같지만 이 양의 무게를 재면 다르다. 이것은 물과 우유의 밀도가 서로 다르기 때문이다. [조금 고급 용어로 extrinsic property 와 intrinsic property 를 말한다. 부피는 extrinsic property 이지만 밀도는 intrinisic property 이다.]

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자 그래서 아르키메데스는 같은 무게만큼의 금을 준비해서 금과 금관을 각각 수조에 넣어 밖으로 나온 물의 양을 비교함으로써 금관에 은이 섞였다는 것을 보였다.

조금 더

여기서 조금 더 나아가보자. 금과 은의 섞인 비율도 혹시 알 수 있지 않을까?

자 총 무게가 w 라 하자. 이 w 무게만큼의 금은 V1 만큼 물을 보낸다고 하고 같은 무게의 은은 V2 만큼의 물을 내보낸다고 하자.

w 안에 w1의 금과 w2 의 은이 섞여 있다고 하자. 이 섞인 금관은 V 만큼의 물을 내보냈다고 하자.

일단 w 만큼의 무게가 V1 의 물을 내보내니 비례식을 통해 w1 의 금은 w1/w V1 만큼의 물을 밀어낼 것이란 것을 알 수 있고 같은 원리로 w2 만큼의 은은 w2/w V2 만큼의 물을 밀어낸다는 것을 알 수 있다.

즉 총 밀어낸 물의 총량은

여기에 w=w1+w2 를 넣어 식을 정리하면 이 비율을 구할 수 있다.

즉 이 비율을 정확하게 구하기 위해서는 세번의 물을 측정해야 한다. 1- w 무게 만큼의 금, 2- w 무게 만큼의 은 3 w 무게의 금관, 반면 금관이 석였는지 안 석였는지를 판별하려면 두번만 하면 된다. 1 혹은 2 와 3 !