[과학, 계산] 표준우주모형 // FLRW 모델

오늘은 우주의 표준모형, FLRW(Friedmann–Lemaître–Robertson–Walker) 모델에 대해서 몇마디 적어보려고 한다. 며칠전 친구가 도움을 구해 한번 정리를 해보았다. 그래서 오랜만에 좀 전문적인 이야기를 쓰게 됬다; [우주론 이야기 + alpha. ]

이 FLRW 모델은 Cosmological Principle, 속칭 우주원리를 바탕으로 구축된 모델이다.

우주원리란 충분히 큰 규모로 우주를 관측할 때, 우주의 성질들이 모든 관측자에 의해 동일하다는 가정(?)을 말한다. 즉 어떤 local observer 에게도 macroscopic, 거시적으로는 우주가 동일하게 보인다(물리법칙의 효과가 동일하다) 는 것을 말해준다.

좀 더 구체적으로 우주원리는 우주가 균질적(Homogeneity)이고 등방적(isotropic - 모든 방향에 대해 불변)하다는 두 가정으로 시작된다.

프리드만은 아인슈타인의 우주상수와 관련된 연구를 하면서, 우주가 정적이지 않다면 우주상수의 도입은 불필요하다는 논문을 냈다. [1922년]

우주원리를 만족하는 Einstein 방정식의 해, FLRW 모델은 다음과 같은 형태를 지닌다.

여기서 상수 k 에 따라 닫힌 우주(k=1, ) 평평한 우주 (k=0), 열린 우주 (k=-1)로 불리며

k 값에 의해 기하가 결정되는 특수한 성질을 가진다.

사실 몇가지 계산을 통해 Ricci scalar 를 계산해보면 [리만기하 포스팅 시리즈를 참조, [수학, 계산] 리만기하6 -2 총괄 [Cartan's Geometry] ]

즉 R_{tt} 와 R_{rr} 성분만 유용하고, R_{rr} 성분으로 그 외의 angular part 들을 표현할 수 있다는 것을 알 수 있다. 사실 이는 지극히 당연한 것으로, 이 FLRW model 자체가 등방적이라는 가정 때문에 그렇다. [사실 우리는 cheating 을 했다. 원래는 저러한 가정을 만족하는 solution 형태를 유추하여 저 metric 을 구해야 한다. 여기선 저 metric 의 성질을 보여주기 위해 시작부터 도입했다.]

리치 스칼라를 잘 살펴보면, k 값에 따라 R 값의 부호를 어느정도 정할 수 있다는 것을 볼 수 있다.

우주원리를 정확하게 적용하기 위해, (균질성을 위해), A=1 을 두고, 편의상 B=a^2(t) 로 하고 아인슈타인 방정식에 넣으면

이것이 표준우주론(빅뱅)을 설명하는 FLRW 방정식이다. ( ΛCDM 을 위해 우주상수 Λ 도 도입한 형태이다)

이 우주론은 비교적 정확하다. 중력이론의 대가인 Wald 는 비교적 최근[2014년도] 리뷰 논문에서 다음과 같이 표현했다.

사실 굉장히 잘 맞기는 하지만, 완벽한 것은 아니다. 이 FLRW 모델이 잘 설명하지 못하는 문제로 인해 인플레이션 이론이 등장했다. [관련 글 [과학] 우주의 시작과 인플레이션 이론 // Beginning of the Universe ], 물론 이러한 단점 외에도 어느정도 관측과 매우 잘 맞아 아직도 이쪽분야에서 아주 잘 쓰고 있다. [이러한 우주 모형을 우주의 표준모형이라고 부른다]

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여기까지는 특별한 계산없는 정상적인 이야기이다. 예전처럼 조금 계산과정을 통해 재미있는 관계식을 설명해 보려고 한다.

양자역학에 관련 예전 글, [과학] 양자역학과 고전역학의 시각 차이 // Poisson bracket and Ehrenfest theorem에서 다룬적이 있는데 양자역학은 commutator 로 기술된다.

일단 양자역학의 operator 부터 간략히 다루어보자.

운동량과 각운동량을 다음과 같이 적을 수 있다.

각각, x,y,z 방향을 구면좌표로 적어보면

간략히 구면좌표계의 좌표변환에 대해 수식을 적어보면

로 부터

를 얻고 chain rule 로 부터

자 이제 필요한 계산 식들은 다 얻었다.

양자역학은

이러한 관계식을 만족하는데, 중력에 있어서도 Killing vector 들이 이와 같은 역할을 한다.

Killing vector는 [수학, 유머(?)] Killing vector(?) 벡터를 죽인다고? // Wilhelm Karl Joseph Killing, 기하를 기술하는데 있어 매우 중요한 역할을 하는데

편의상 B=R(t) 로 두고 Killing 방정식을 세워보면

t=constant 한 hypersurface 에서 이 식을 열심히 풀면 다음과 같은 해를 얻는다.

여기서 a_i, b_i 들은 상수를 말한다. 이들을 가지고 basis 를 구축하여 killing vector 를 쓸 수가 있는데

유심히 살펴보면 어디서 본 표현들 아닌가

이 6개의 vector 을 가지고 Lie bracket 계산을 해보면(사실은 안해도 된다. 바로 위에서 유추가 가능하니까)

이는 양자역학에서 운동량과 각운동량의 commutation relationship 과 매우 유사하다.

여기에는 이유가 있다. 바로 대칭성과 연관이 있다. 양자역학에서 각운동량을 도입시 구형 대칭을 고려하였고, FLRW 모델에서도 역시 등방성을 위해 구형대칭성을 고려하였다. 이러한 유사한 대칭성의 도입으로 각각 다른 분야에서 유사한 구조가 보이는 것이다!

이러한 대칭성을 제대로 이해하기 위해서는 리군과 관련된 지식이 필요하다. 양자역학에서는 operator(physical) 들이 해당 리군의 generator 역할을 하고, 중력이론에서는 Killing vector 가 해당 대칭군의 generator 가 된다.

양자역학, 중력을 연구하던 사람들은 이러한 연관성등을 통해 군론의 중요성을 눈치챘고, 군론을 이용해 여러가지 시도들을 계속 하고 있다. [중력과는 거리가 멀지만 군론은 입자의 표준모형의 구성 과정에서 매우 중요한 역할을 했다. ]