[특수상대성이론] 로렌츠변환 일반화

안녕하세요 @chosungyun입니다.
저번 포스팅에서 하나의 방향으로 이동한다고 가정하고 로렌츠변환을 유도했습니다.

그럼 오늘은 임의의 방향에 대한 로렌츠변환으로 일반화를 하는 과정을 살펴보고자 합니다.

이번 포스팅에는 수식이 많이 등장하니 어려울 수 있음을 미리 알려드립니다.

지금까지는 x방향에 대해서 이동한다고 가정하고 다음과 같이 나타냈습니다.

그렇다면 이동 방향이 y방향이라면 다음과 같이

z방향이라면 다음과 같이 쓸 수 있을 겁니다.

그렇다면 임의의 방향으로 간다면 속도 v는 각각의 방향 성분을 합한 것으로 표현할 수 있습니다.

또한 이동 방향에 대해서 다음과 같이 성분분해 할 수 있고

하나의 성분을 기준으로 잡으면 하나의 성분은 평행 나머지 두 성분은 이동 방향에 대해 수직 방향인 것으로 표현할 수 있습니다.

하나의 성분 x방향으로 이동하면서 이 x방향에 대해 수직인 y, z방향으로 임의의 방향임을 정해지는 것이죠.

그럼 다시 말해 평행한 성분과 수직인 성분의 합으로 임의의 방향이 정해진다고 말할 수 있습니다.
그림으로 나타내자면 다음과 같습니다.

따라서 아래와 같은 관계를 가지며

다음과 같이 내적을 사용하여 표현할 수 있습니다.

여기서 수직 방향에 대한 내적은 벡터 B와 수직이므로 0이 됩니다.

한편 수직한 성분은 임의의 방향에서 평행한 성분의 차로 구해집니다.

그럼 결국

이렇게 쓸 수 있습니다.

여기서 다시 하나의 방향(x방향)으로만 움직이는 상황일 때의 로렌츠변환을 다시 살펴보겠습니다.

x와 v_x는 임의의 방향 r을 사용해 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

여기서 하나의 방향으로만 움직이기 때문에 이동 방향에 수직인 성분은 0이 되기 때문입니다.

또한 두번째 식인 x^1’에 관한식으로부터

위와 같은 결과를 얻을 수 있습니다.

그런데 위에서

로 나누어 표현할 수 있으며 평행한 성분이 아닌 수직성분은 불변하므로 위에서 구한값을 넣으면 다음과 같습니다.

여기서 마지막 식이 나오는 이유는 위에서 구한 평행성분과 수직성분의 관계를 이용하여 구합니다.

자 그럼 여기까지 해서 임의의 방향에 대한 시간과 공간에 대한 식을 구하였습니다.
시간은 x^0’이고 공간은 r^’으로 구해졌습니다.

여기서 r과 v를 대입하면 관계식이 완성됩니다.
대입을 하면 되는데.. 복잡하죠..?
그나마 간단한 부분은 시간텀뿐이네요.
그러니까 복잡한 계산은 생략하고 결과만 보여드리겠습니다.

위 행렬식이 임의의 방향에 대한 로렌츠변환입니다.
복잡해 보이죠?
다행이도 이 식은 오늘이 처음이자 마지막으로 등장은 하지 않습니다.

이번 포스팅까지 해서 로렌츠변환의 유도는 끝이 났습니다.
다음 포스팅부터는 로렌츠변환을 통한 상대론적 특징을 검증하기 전에 먼저 여러 예시와 함께 상대론적 현상을 알아보도록 하겠습니다.
오늘은 여기서 마칩니다. 감사합니다!!

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“해당 포스팅에 사용한 이미지의 출처는 구글이미지입니다”