[특수상대성이론] 로렌츠 변환의 결과와 사고 실험

안녕하세요 @chosungyun입니다.
저번 포스팅까지 해서 동시성 상실, 시간 지연, 길이 수축, 질량 증가와 같은 상대론적 특이한 현상들을 사고 실험을 통해 확인했습니다.
그럼 이전에 배웠던 로렌츠 변환식을 사용해 실제로 좌표변환을 시켰을 때 생각했던 결과가 나왔는지 확인을 해보도록 하겠습니다.

우선, 로렌츠 변환식은 다음과 같습니다.

그리고 하나의 방향(x 방향)으로만 움직인다고 가정하면 다음과 같습니다.

그럼 여기서 동시성 상실을 보도록 하겠습니다.
우선 두 사건 P와 Q가 있다고 하겠습니다.
이 두 사건의 A 계에서의 좌표는 각각 (0,0) (0,l)입니다.
여기서 앞의 값은 시간 값 뒤의 값은 공간 값(X)입니다.

그럼 우선 P 사건을 로렌츠 변환을 통해 A’계에서 보면 다음과 같습니다.
그리고 Q 사건도 다음과 같은 과정을 거쳐 결과를 확인할 수 있습니다.

어떤 차이가 보이시나요?
A’에서 시간 값이 달라진 것이 보이시나요?
P 사건은 (0,0) 그대로지만 Q 사건은 변했습니다.
시간값은 – 값으로 A계에서 P 사건과 Q 사건이 동시에 일어난것에 반해 A’계에서는 Q 사건이 먼저 일어났음을 알 수 있습니다.

그럼 이번에는 시간 지연을 살펴보겠습니다.
A 계의 원점에 고정된 입자는 다음과 같은 world line을 그립니다.

그럼 좌표값을 (ct,0)으로 나타낼 수 있습니다.
로렌츠 변환식을 이용하면 다음과 같습니다.

A’ 계에서 시간이 감마값만큼 커진 것을 알 수 있습니다. 여기서 A’계는 우리가 사고 실험을 할 때 외부에서 관측한 계와 똑같습니다.
따라서, 시간 지연이 일어남을 확인할 수 있습니다.

마지막으로 길이 수축을 확인해보겠습니다.

다음과 같이 공간상에 길이 l의 어떤 물체가 있을 때 그 물체의 왼쪽 끝과 오른쪽 끝의 좌푯값은 (ct,0), (ct,l)로 표현이 가능합니다.
그럼 로렌츠 변환을 통해 다음과 같이 변환됩니다.

이번에는 감마의 역수가 길이에 곱해져 감마만큼 길이가 더 짧아진다는 것을 알 수 있습니다.

이렇게 간단하게 로렌츠 변환을 통해 지금까지 고민해왔던 문제들을 확인해보았습니다.
그러나, 아직 하나의 검증이 남았습니다.
처음에 갈릴레이 변환을 통해 빛의 속도로 움직이는 우주선에서 쏜 빛의 속도로 날아가는 로켓은 빛의 속도의 두 배가 아니라 최대 빛의 속도로밖에 못 간다고 이야기했었습니다.
그래서 갈릴레이 변환은 상대론에 적용할 수 없어 로렌츠 변환이라는 새로운 변환을 유도했었습니다.
그럼 우리가 유도한 로렌츠 변환을 통해 빛의 속도를 넘을 수 없는 것인지 검증을 해볼 필요가 있습니다.
다음 포스팅에서 이 내용에 대해 다루도록 하겠습니다. 오늘은 여기서 마칩니다. 감사합니다!!

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“해당 포스팅에 사용한 이미지의 출처는 구글이미지입니다”