Siguiendo la línea que he venido trazando acerca de las funciones logaritmo natural y exponencial, hoy les presento una integral que involucra a las dos funciones.

Calcule la integral indefinida:

∫(e^2x)/(e^x + 3) dx

Usemos cambio de variable para resolver esta integral.

(1) Sea u= e^x + 3

Obtengamos du

(2) du= e^x dx

Despejemos e^x de (1)

(3) e^x= u - 3

Recordemos que:

(4) e^2x= e^x e^x

Sustituyamos (4) en la integral

(5)∫(e^2x)/(e^x + 3) dx=∫(e^xe^x)/(e^x + 3) dx= ∫(e^x)/(e^x + 3) (e^x)dx

Sustituyendo (1), (2) y (3) en (5)

∫(e^x)/(e^x + 3) (e^x)dx=∫(u - 3)/(u) du= ∫(u/u - 3/u) du= ∫(1 - 3/u) du= ∫du - 3∫(1/u)du= u - 3Ln|u| +C

Sustituyendo "u" por su valor de acuerdo a (1)

El resultado definitivo es:

∫(e^2x)/(e^x + 3) dx = e^x + 3 - 3Ln|e^x + 3| +C

♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣
Ejercicio # 25 de la Sección 8.4 de "El Cálculo" con geometría analítica. Louis Leithold. Segunda edición. Harla, S.A de C.V.