El Interesante Mundo de los Cuerpos Geométricos
Video 1. Presentación del Post. Cuerpos Geométricos. Edición: @xeliram.
El contenido de este post, es de geometría específicamente de cuerpos geométricos. Dirigido básicamente a estudiantes y docentes de la educación media, diversificada y profesional, como una herramienta útil para una mejor comprensión y dominio de este tema. Comenzaré definiendo que son los cuerpos geométricos y como se clasifican. Se describirá y definirá cada uno de ellos, sus propiedades, elementos, número de caras, vértice y arista.
Los cuerpos geométricos es una figura geométrica de tres dimensiones que son: largo, ancho y alto, ocupado un lugar en el espacio y en consecuencia tiene un volumen. Se distinguen dos clases de cuerpos geométricos los poliedros y los cuerpos redondos.
OBJETIVOS
- Identificar los elementos de un poliedro.
- Conocer y diferenciar los poliedros regulares y los poliedros no regulares
- Distinguir los cuerpos redondos
- Construir cuerpos geométricos
- Identificar los objetos de nuestro entorno que tienen forma de tetraedro, cilindros, conos, esfera entre otros.
ÍNDICE
Poliedros Regulares
1.1 Tetraedro
1.2 Octaedro
1.3 Icosaedro
1.4 Hexaedro o cubo
1.5 DodecaedroPoliedros Irregulares
2.1 Prisma
2.2 Prisma oblicuo
2.3 Pirámides recta
2.4 Pirámide inclinadaCuerpo Redondos o Cuerpos de Revolución
3.1 El cono
3.2 El cono truncado
3.3 El cilindro
3.4 La esfera
3.5 Semiesfera
Los cuerpos geométricos como describí anteriormente se clasifican en poliedros y cuerpos redondos. Un poliedro es un cuerpo geométrico cuyas caras planas son polígonos. En cada poliedro se distinguen: caras, aristas y vértices.
Cara. Son los polígonos que limitan al poliedro.
Arista. Son los segmentos formados por la intersección de la cara.
Vértice. Punto de las intersecciones de dos aristas.
Fuente: Diseñado por la autora @xeliram. Editada en PowerPoint.
Imagen exportada del Geogebra como vista gráfica a imagen.Ahora veamos el siguiente ejemplo: Identifiquemos los elementos del poliedro.
Los vértices son: A, B, C, D, E, F, H, G
Las aristas son: AB, BC, AD, DC, AE, BF, CG, DH, EH, HG, GF, FE
Las caras son: ABCD, AEFB, BFGC, GCDH, HDAE, HGFEACTIVIDAD
Indica en los siguientes poliedros el número de caras, aristas y vértices
Se distinguen dos Clases de Poliedros: Los poliedros regulares y los poliedros irregulares
1. Poliedros Regulares
Son aquellos poliedros cuyas caras son polígonos iguales y regulares. Sólo existen cinco (5) poliedros regulares, puesto que la suma de los ángulos de las caras concurrentes en el vértice de un ángulo poliedro debe ser siempre menor que 360°. Estos poliedros regulares son: Tetraedro, hexaedro, octaedro, dodecaedro e icosaedro.Volumen de un sólido: es la cantidad de espacio que ocupa un sólido.
Tomando como caras triángulos equiláteros se pueden construir los siguientes poliedros:1.1 Tetraedro 
Fuente: Exportada del Geogebra como vista gráfica a imagen. Elaborada por @xeliram.
Es un poliedro regular formado por cuatro caras, que son triángulos equiláteros. Tiene seis aristas y cuatro vértices. En este caso la suma de los ángulos de las caras concurrentes en el vértice es 180°. Veamos
El área de un tetraedro es igual a la suma del área de las cuatro caras. Es decir el área del triángulo por 4.
El volumen del tetraedro es igual a la tercer parte del producto del área de su base por la altura.
Nota: Para calcular el área y el volumen hay que calcular la distancia de la altura de triángulo (la apotema) y la distancia de la altura del poliedro.
- Regla
- Cartulina
- Tijera
- Lápiz
- Pega
- Dibuje en la cartulina el grafico a la derecha
- Recortar por su límite exterior.
- Una vez recortado, marcar con un objeto punzante todas las rayas, sin romperlas, con el fin de facilitar su doblez. Ayúdese con una regla.
- Doblar y dar forma a la figura, para facilitar la unión de un lado a otro y comprobar que cada pestaña coincida con su lado correspondiente.
- Colocar pega a la pestaña y una con el lado correspondiente, manteniendo una ligera presión con los dedos, para asegurar la unión.
- Procurar tener las manos limpias al realizarlo.
- Use preferiblemente pega blanca y aplique la cantidad necesaria sin que se exceda.
- Trate de que las pestañas coincidan exactamente con las rayas a fin de lograr un encajado perfecto.
- 18 cuerpos geométricos para armar. Ediciones CO-BO Caracas.
- Matemáticas Galdós (2004). Madrid España.
- Doménech, J. (2003). Poliedros regulares, geometría descriptiva. Disponible: https://www.editorial-club-universitario.es/pdf/403.pdf
- Matemática 1. Eso. Cuerpos geométricos objetivos contenidos procedimientos. Elementos de un poliedro y su desarrollo. Los poliedros regulares y sus características. Santillana. Disponible: https://docplayer.es/11129389-Cuerpos-geometricos-objetivos-contenidos-procedimientos-elementos-de-un-poliedro-y-su-desarrollo-los-poliedros-regulares-y-sus-caracteristicas.html
Diagrama y construcción del tetraedro.
El diagrama de un poliedro, consiste en el despliegue de todos sus planos, unidos por un lado común, sobre un plano único. Ese despliegue, permitirá un diseño con el cual construir el tetraedro.
Materiales
Instrucciones
Para realizar un buen trabajo se recomienda
En el siguiente gráfico, se observa como quedo el tetraedro elaborado en cartulina.
Fuente: Construcción del tetraedro. Diseñado por la autora @xeliram foto tomada con un celular y editada en la aplicación FotoCollage
1.2 Octaedro
Fuente: Exportada del Geogebra como vista gráfica a imagen. Elaborada por @xeliram
Es un poliedro regular compuesto por ocho caras, que son triángulos equiláteros. Tiene 6 vértices. Formada por dos pirámides cuadrangulares regulares, coincidentes en sus bases. Tiene 4 caras concurrentes en un mismo vértice, por lo cual la suma de los ángulos de las caras concurrentes en el vértice es
El área de un octaedro es igual a la suma del área de las ocho caras. Es decir que el área del octaedro será una cara multiplicado por ocho.
El Volumen de un octaedro sería:
Diagrama y construcción del Octaedro.
Con los mismos materiales e instrucciones realizar el octaedro, ver el siguiente gráfico para su elaboración.
Fuente: Foto tomada por la autora @xeliram, con un celular.
En el siguiente gráfico, se observa como quedo el octaedro elaborado en cartulina.
Fuente: Construcción del octaedro. Diseñado por la autora @xeliram foto tomada con un celular y editada en la aplicación FotoCollage
1.3 Icosaedro
Fuente: Exportada del Geogebra como vista gráfica a imagen. Elaborada por @xeliram
Es un poliedro regular formado por veinte caras que son triángulos equiláteros iguales. Tienen treinta aristas y doce vértices. Tiene cinco caras concurrentes en un mismo vértice, por lo cual la suma de los ángulos de las caras concurrentes en el vértice es
El área de un icosaedro es igual a la suma del área de las veinte caras. Es decir que su área será una cara multiplicado por veinte.
El Volumen de un icosaedro sería:
Diagrama y construcción del Icosaedro.
En la imagen está el modelo para construir el icosaedro, sigue las instrucciones anteriores y construye el poliedro.
Fuente: Foto tomada por la autora @xeliram, con un celular.
Ahora si intentáramos construir un poliedro regular con seis o más caras (triángulos equiláteros) concurrentes en un mismo vértice tendríamos que el ángulo poliedro seria mayor o igual que 360°. Puesto que si tuviera seis caras tendríamos que
Por lo que hemos agotado la formación de posibles poliedros regulares que tengas por caras triángulos equiláteros.
1.4 Hexaedro o Cubo
Fuente: Exportada del Geogebra como vista gráfica a imagen. Elaborada por @xeliram
Es un poliedro regular formado por seis caras, que son cuadrados iguales. Tiene doce aristas y ocho vértices. El hexaedro es conocido también como un prisma cuadrangular regular. Tiene tres caras concurrentes en un mismo vértice, por lo cual la suma de los ángulos de las caras concurrentes en el vértice es
El área de un cubo es igual a la suma del área de las seis caras.
El Volumen de un cubo es igual al área de la base por la altura.
Diagrama y construcción del Hexaedro o Cubo.
Con los mismos materiales e instrucciones realizar el octaedro, ver el siguiente gráfico para su elaboración.
Fuente: Foto tomada por la autora @xeliram, con un celular.
En el siguiente gráfico, se observa como quedo el hexaedro elaborado en cartulina.
Fuente: Construcción del hexaedro. Diseñado por la autora @xeliram foto tomada con un celular y editada en la aplicación FotoCollage
Ahora bien no se puede construir ningún poliedro regular con más de tres caras (siendo las caras cuadrados) concurrentes en un mismo vértice, puesto que si tuviera cuatro caras tendríamos que:
Por lo tanto no existen poliedros regulares, compuesto por cuatro caras o más, siendo el polígono de la cara un cuadrado.
1.5 Dodecaedro
Fuente: Exportada del Geogebra como vista gráfica a imagen. Elaborada por @xeliram
Es un poliedro regular formado por doce caras iguales que son pentágonos regulares. Tiene treinta aristas y veinte vértices. Tiene tres caras concurrentes en un mismo vértice, por lo que la suma de los ángulos de las caras concurrentes en el vértice es:
El área de un dodecaedro es igual al área de una cara multiplicado por doce, que es el número de lados. Dado que las caras de un dodecaedro son pentágonos, el área del pentágono es igual a la mitad del producto del perímetro por su apotema:
Siendo
P = perímetro
ap = apotema
Por lo tanto el área del dodecaedro es:
Es importante destacar, que no se puede construir ningún poliedro regular cuyas caras sean pentágonos con más de tres caras concurrentes en un mismo vértice, puesto que si tuviera cuatro caras tendríamos que
Tampoco se puede construir ningún poliedro regular cuyas caras sean hexágonos regulares, dado que, el número mínimo de caras concurrentes en un mismo vértice es tres, obteniendo
Por el mismo motivo, si intentáramos construir poliedros regulares con polígonos regulares de más de seis lados, comprobaríamos que su ángulo poliedro es mayor que 360°. Por esta razón sólo existen cinco poliedros regulares, que reciben sus nombres de acuerdo con el número de caras.
A continuación se muestra un esquema con el número de caras, vértices, arista y los tipos de caras de los poliedros regulares:
Si observa el cuadro, cada poliedro regular cumple que la suma de sus caras y sus vértices es igual a su arista más dos: c + v = a + 2 siendo c = cara, v = vértice y a = arista. El cual recibe el nombre de relación de Euler en honor de Leonard Euler.
ACTIVIDAD
Complete la siguiente tabla
Entre las curiosidades matemáticas tenemos que los poliedro regulares son conocidos como sólidos platónicos, sólidos perfectos, poliedros de platón, ya que Platón asoció cada uno de los cuatro elementos que según los griegos formaban el universo, fuego, aire, agua y tierra a un poliedro. El tetraedro representaba el fuego; el hexaedro la tierra; el octaedro el aire; y el icosaedro el agua. Por último asocio el dodecaedro el universo.
Kepler creó un modelo del sistema planetario que utilizaba los poliedros regulares para describir las distancias entre las órbitas de los planetas.
En la naturaleza los cristales minerales como la pirita, la halita, la galena y la sal común tienen aspectos cúbica. La pirita también tiene aspecto de dodecaedro y octaedro.
Según el testimonio de Plutarco, fue Platón quien dijo que “Dios siempre hace geometría”
Apéndice
Polígono: Es la unión de segmentos que se juntan sólo en sus extremos, de tal manera que:
(1) Como máximo dos segmentos se encuentran en un punto y
(2) Cada segmento toca exactamente a otros dos.
Polígono Regular: un polígono es regular, si:
(1) Si es convexo
(2) Todos sus lados son congruentes y
(3) Todos sus ángulos son congruentes
Ejemplo: un triángulo, un cuadrado, un rombo, entre otros.
Pentágono: es un polígono que tiene cinco lados.
La apotema de un poliedro : es la altura de una cara
Nota: Los títulos fueron creadas y editadas por @xeliram usando Powert point
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Atentamente
El equipo de curación del PROYECTO ENTROPÍA
Gracias al equipo de curación del proyecto @entropia, por el apoyo.
Desde nuestros más remotos inicios la humanidad siempre ha estado relacionada con distintas figuras o formas geométricas que la circundan y de allí la gran importancia de tu maravilloso aporte debido a que los esenciales cuerpos geométricos los cuales representan esas extraordinarias figuras geométricas tanto en el plano (área) como en el espacio (volumen) , representando estos valores innumerables características ofrecidas por tales figuras y que nos ha sido de gran utilidad en nuestro desarrollo intelectual y en consecuencia social.
La geometría es esa maravillosa rama de las matemáticas que nos ha permitido la interpretación y comprensión de las distintas figuras presentes en nuestro universo, en donde encontramos como tu muy bien lo expresas dos tipos de cuerpos geométricos tales como los poliedros (elementos, sus tipos, su construcción y su relación con nuestro entorno) y los esenciales cuerpos redondos( tipos, construcción y relación con nuestro medio natural), también todo lo concerniente a sus respectivas formulaciones o modelos algebraicos en relación a las áreas y volumen.
En conclusión, fue un inmenso placer haber leído tu educativo y fascinante artículo el cual nos permitió recordar algún pasaje de nuestra formación académica y que además es de gran utilidad para todo tipo de estudiantes y docentes tanto de nuestros liceos como universidades.
Gracias por compartir tus extraordinarios conocimientos con todos nosotros esperando otros artículos magistrales como este que estoy seguro que así será para seguir creciendo en nuestra comunidad científica y académica de stem-espanol, recordando que todo conocimiento complejo se origina desde sus más esenciales bases como lo realizado en esta publicación, un saludo fraterno @xeliram y muchos éxitos. Felicidades.
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Gracias por el apoyo.
El mundo de los cuerpos geométricos, son interesantes y útiles en varias ciencias , excelente publicación, Saludos...
Gracias @felixrodriguez por visitarme y leer mi post. Los cuerpos geométricos, se pueden ver en el mundo de la naturaleza y en la vida diaria, podemos verlos en la arquitectura tanto antigua como moderna con forma piramidal como la pirámide kukulcan entre otras.
Quiero compartir una experiencia en la docencia asociada a este tema, y la misma está referida a cuando calculamos el área de un poliedro, por ejemplo, el área de un cubo que viene siendo 6 veces el área del cuadrado, típicamente la denomino área superficial, y utilizo esto a modo de nemotecnia, para explicar un concepto importante de la mecánica de suelos, como lo es el de superficie específica. Buen post, super educativo y didáctico. Saludos!!!
Hola @eliaschess333, este es un tema de gran interés, que se puede relacionar con otras áreas. Agradezco tus comentarios y comparto tus opiniones respecto a la importancia de este tema. Gracias por participar y compartir tus experiencias, buena forma para que los estudiantes memoricen o aprendan con más facilidad el concepto de mecánica de suelos. Saludos.
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Esa idea de hacer las figuras para armar me pareció de lo más didáctico, casi que para mostrarlo a un niño
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Hola @ubaldonet gracias por leer el post. Si la idea es esa, para que lo realicen estudiantes de educación primaria, hasta educadores de educación integral, y en el caso del Geogebra puede llevarse desde educación primaria hasta universitaria esta última profundizando en el tema. Y muy útil para ayudarles en las tareas de nuestros hijos, cuando le pidan figuras geométricas 3d.
Hi @xeliram!
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