Geometría analítica y Cinemática (Parte XI)

En primer lugar mi saludo respetuoso para toda la comunidad académica y científica de steemit, en especial a #stem-espanol, #steemstem, #utopian-io, #curie, #cervantes y #entropia, con su valioso apoyo hacemos posible nuestro crecimiento en todos los aspectos en esta prestigiosa plataforma y además nos permiten destacar la maravillosa y constante tarea de la ciencia que en muchas ocasiones nos olvidamos de su inmenso e incalculable valor para la existencia de la humanidad.

Continuamos con la temática geometría aquella que junto al lenguaje abstracto del álgebra fortalecen el extraordinario carácter analítico de las matemáticas, condición que hemos utilizado constantemente para el análisis del esencial nexo entre la majestuosa ciencia física y las ineludibles matemáticas. La ciencia nos sigue permitiendo seguir acercándonos al entendimiento de nuestro espectacular entorno en donde podemos encontrar cualquier tipo de fenómeno de gran influencia para nuestras vidas como lo hemos demostrado con el esencial fenómeno del movimiento en cualquiera de sus más particulares y complejas presentaciones.

El propósito de cada uno de estos artículos es ir identificando los distintos movimientos en nuestras vidas, nos hemos encontrado con impresionantes tipos de movimientos tales como, el movimiento circular, parabólico, elíptico, hiperbólico, rectilíneo-curvilíneo, oscilatorio, vibratorio, ondulatorio, caótico y armónico complejo, encontrando intrínsecamente a los fenómenos como el movimiento periódico característico del movimiento armónico simple (M.A.S.), lo importante de estos fenómenos es que cada uno de ellos constituye un claro ejemplo tanto de utilidad como de vitalidad para cualquier ser vivo de este planeta y de igual forma para el universo en sí, todos estos movimientos podríamos afirmar que gracias a la geometría analítica han logrado transitar el lugar geométrico de alguna figura creada o graficada por dicha rama de las matemáticas.

En pasadas publicaciones pudimos analizar de manera particular cada fenómeno oscilatorio, vibratorio y ondulatorio comprobando que cualquier partícula, cuerpo u objeto realiza un movimiento de vaivén, esta movilidad se origina debido a una determinada perturbación que hace perder o alejar a la partícula de su respectiva posición de equilibrio estable, en este artículo trataremos la importancia de manera global de un movimiento armónico forzado-amortiguado debido a su gran impacto en innumerables sistemas mecánicos que nos permiten garantizar nuestra estabilidad social.

Existen sistemas mecánicos complejos en donde la amortiguación es de vital importancia, por ejemplo, en un vehículo la suspensión es fundamental para dicho sistema debido a que tal suspensión guarda una relación directa con la trayectoria que recorrerá el automóvil, el sistema de amortiguación conformado generalmente por los amortiguadores, rodamientos con topes de suspensión y por supuesto las barras estabilizadoras absorberán cada movimiento oscilantes vibratorios tanto leve como brusco cuando se transita por una vía en mal estado.

Como ya expresamos en el estudio de los fenómenos oscilatorios (movimiento oscilatorio, vibratorio, ondulatorio) nos encontramos con el más importante de estos como lo es el movimiento armónico simple (M.A.S.), recordemos que el mismo además de poderlo representar matemáticamente de forma más sencilla que cualquier otro movimiento también se constituye como un extraordinario modelo de aproximación a gran cantidad de oscilaciones o vibraciones presentes en nuestra naturaleza y en aquellos sistemas mecánicos como el descrito anteriormente.

Cuando nos referimos a un movimiento armónico bien sea de forma simple o compleja estamos relacionándonos con un importante fenómeno el cual juega un indispensable papel en el análisis de innumerables tipos de movimientos de características complejas debido a su composición oscilatorias, vibratorias y ondulatorias, muchos sistemas físicos o mecánicos dependen de la combinación de cualquiera de estos movimientos para su debido funcionamiento.

Con lo expresado anteriormente nos vamos enfocando con el tipo de fenómeno específico a estudiar y analizar en el presente artículo como lo es el complejo movimiento armónico forzado-amortiguado presente en importantes sistemas físicos que se encuentran en nuestro alrededor, constantemente observamos sistemas que son forzados a realizar ciertos movimientos a una frecuencia determinada por ejemplo al encender una licuadora la energía suministrada a dicho sistema hace que su cuchilla realizará movimientos armónicos forzados de tipo circular el cual se amortiguan tanto con el resto de los componentes de dicho sistema como al dejarle de suministrar tal energía en este caso eléctrica, lo mismo podemos observar con un ventilador.

También nos podríamos encontrar con algunos elementos como un resorte u otros que permiten acelerar el proceso de frenado de un determinado movimiento armónico cuando no sean convenientes para el normal funcionamiento de cualquier sistema, un acondicionador de aire presente en nuestros hogares mientras esta encendido la unidad compresora realiza cierto movimiento armónico oscilatorio-vibratorios-ondulatorio los cuales los podemos visualizar con cierto movimiento de vaivén y al colocar alguna de nuestras manos sobre ella sentimos que la misma vibra y además escuchamos que se genera en ella algún tipo de ondas sonaras, esto hace que la misma requiere de ciertos soportes que garanticen una amortiguación de dicho movimiento compuesto, por lo tanto esto mantiene en equilibrio lo más posible a tales fenómenos oscilatorios llevados a cabo por la unidad compresora.

Al igual que todos los anteriores movimientos la geometría analítica nos ha ayudado a consolidar tales conocimientos gracias a la implementación de diversos lugares geométricos característicos de innumerables formas y figuras aportadas por esta ciencia, resaltando para este caso la vinculación del movimiento circular uniforme y su circunferencia trayectoria con el movimiento armónico simple, también las curvas periódicas o armónicas así como otras figuras utilizadas para la descripción del movimiento armónico forzado- amortiguado.

Cualquier tipo de movimiento armónico real que se ejecute libremente será amortiguado ya que como sabemos su energía mecánica se disipará esto hace que la amplitud (A) de dicho movimiento disminuya, por lo tanto cuando se requiera que un determinado sistema físico no sea amortiguado debemos aportar energía a dicho sistema por lo que se originaría un movimiento que podemos denominar movimiento armónico forzado como lo describimos en los anteriores ejemplo de la licuadora y ventilador, esto es lo impresionante de este fenómeno poder equilibrar cualquier sistema con la aplicación de varios movimientos para su mayor eficiencia, todo dependerá de las características que se necesite que cumpla para una determinada tarea.

En el presente artículo resaltaremos la vital importancia del movimiento armónico forzado-amortiguado, tomando en cuenta los rozamientos internos así como del medio ambiente que lo rodea, esto es debido a que tanto de manera natural como artificial podríamos detener cualquier tipo de movimiento bien sea oscilatorio como vibratorio o combinación de ellos con la finalidad de estabilizar un determinado sistema físico.

La extraordinaria ciencia de la geométrica analítica nos sigue permitiendo poder encontrar aquellos lugares geométricos por donde transitan innumerables partículas, cuerpos u objetos al describir algún tipo de fenómeno de movilidad que hasta ahora lo hemos visto en las pasadas publicaciones.

Nos encontramos con trayectorias relacionadas con reconocidas e importantes figuras geométricas como la línea recta (movimiento rectilíneo), la circunferencia (movimiento circular), la parábola (movimiento parabólico), la elipse (movimiento elíptico), la hipérbola (movimiento hiperbólico), combinación de estas figuras o alguna porción de ellas (movimiento rectilíneo-curvilíneo, oscilatorio, vibratorio, ondulatorio) y otras figuras complejas como la mariposa o atractor de Lorentz (movimiento caótico) o la combinación de curvas periódicas o armónicas resultando trayectorias complejas como las denominadas figuras de Lissajous mediante la combinación de dos movimientos armónicos simples de direcciones perpendiculares entre sí.

Cuando se analiza un determinado movimiento armónico simple (M.A.S.) sin tomar en cuenta los distintos tipos de rozamientos que pudieran existir tanto de manera interna como externa de un respectivo sistema físico, notamos un comportamiento uniforme en cuanto a la curva que describe dicho el movimiento armónico de tal sistema, pero cuando consideramos la acción de estos rozamientos los cuales lograrán que dicho fenómeno oscilatorio o vibratorio disminuyan su velocidad hasta detenerse, por lo que su respectiva energía mecánica va reduciéndose al pasar el tiempo originándose la curva de un movimiento armónico amortiguado, como podemos observar en la siguiente figura 1.

En la anterior imagen notamos la curva periódica de un movimiento armónico simple (M.A.S.) pero siempre es importante resaltar su relación con el movimiento circular uniforme y con ello con la figura de la circunferencia, también notamos el comportamiento de la curva representativa de un movimiento armónico poco y muy amortiguado debido a que se tomaron en consideraciones los efectos de cualquier tipo de rozamiento tanto interno como externo (entorno) del sistema.

También nos encontramos con sistemas que presentan un movimiento amortiguado y que a su vez se le suministra en determinado periodo de tiempo energía a dicho sistema con la finalidad de obligarlo o seguir con su movimiento el cual pudiera ser con la misma intensidad del inicio o igual a partir del momento en donde le empecemos a suministrarle energía a dicho sistema , teniendo en cuenta que si tal energía aportada es constante desde el momento de su aplicación a partir de ese momento el movimiento podría comportarte similar o parecido a un M.A.S. recordando que en la realidad por aplicarle energía externa a dicho sistema difícilmente a partir de ese instante la curva sea igual a la de un M.A.S, pero pudiera guarda mucha relación con dicho modelo de movimiento, como lo podemos observar en la siguiente figura 2.

Innumerables son las figuras implementadas por la geometría analítica para conectarse con la comprensión de cualquier fenómeno presente en nuestro medio natural como las que observamos en las anteriores figuras en donde una determinada partícula puede llevar a cabo un movimiento armónico, amortiguado o forzado amortiguado.

Al describir cualquier tipo de movimiento indudablemente estamos refiriéndonos a uno de los fenómenos más relevantes de nuestra existencia ya que esto lo hemos comprobado y cada vez más lo seguimos fortaleciendo al encontrarnos con las diferentes formas de descripción de dichos fenómenos de movilidad, al transitar por cualquier trayectoria en cualquier vehículo podríamos notar que constantemente dicho sistema mecánico se balancea armónicamente de arriba abajo o más claramente de forma oscilatoria o vibratoria, esto es debido a ciertos componentes o grupos de piezas o fragmentos que integran el amortiguamiento del sistema mecánico del vehículo, esto con la finalidad de poder transmitir todo el peso de la carrocería con la mayor suavidad y flexibilidad posible a los ejes de las ruedas permitiendo además amortiguar cualquier bache o irregularidad de la carretera o vía de comunicación.

Cada vez nos damos cuenta de la importancia del esencial modelo que representa el movimiento armónico simple, si describimos o pensamos en armonía claramente nuestra mente dibujará cualquier forma o figura con un alto grado de equilibrio entre sus partes o componentes, por lo tanto existirá una adecuada proporcionalidad en un determinado sistema el cual desarrolla algún tipo de movimiento, entonces podemos expresar que en determinadas ocasiones es necesario que cierta movilidad de cualquier sistema mecánico se detenga con un adecuado amortiguamiento o también necesitamos que otros sistemas mantengan armónicamente sus movimientos mientras se encuentran en funcionamiento, esto nos permite relacionar al movimiento armónico amortiguado con el forzado.

# ***Movimiento armónico forzado-amortiguado***

Nuestro entorno bien sea el más cercano como el más lejano se encuentra colmado de cualquier tipo de movimientos bien sea de carácter oscilatorio o de cualquier otro tipo de movimientos antes descritos, pero nos centraremos en aquellos fenómenos en donde el movimiento armónico representa un importante factor de estabilidad para cualquier sistema mecánico sometido al amortiguamiento y el forzamiento de un determinado movimiento.

Todo tipo de movimiento armónico libre real es amortiguado debido a los rozamientos internos (si los hubiera) como externos que se encuentran en el entorno de un determinado sistema físico, estas condiciones naturales hace que dicho movimiento poco a poco se detenga hasta pararse por completo, por lo tanto al no aportar algún tipo de energía a dicho sistema el mismo perderá su energía mecánica al pasar el tiempo por lo que de esta forma se origina el movimiento que denominamos movimiento armónico naturalmente amortiguado, como lo pudimos notar u observar en la gráfica de la figura 1.

En dicha figura pudimos notar en la segunda y tercera curva como la energía de un determinado sistema en movimiento armónico se disipa, por lo que es importante tener en cuenta los tipos de rozamientos presentes durante el movimiento armónico analizado, ya que esto permite que el proceso natural de amortiguamiento tenga poca o mucha acción en cuanto a que el sistema se detenga por completo en su punto de equilibrio estable en un corto o largo intervalo de tiempo.

En contrapeso al efecto de amortiguamiento antes descrito nos encontramos al hecho de suministrarle energía a dicho sistema, por lo que podemos decir que de esta manera tendríamos un movimiento armónico forzado, sin embargo, teniendo siempre en cuenta que al aportar algún tipo de fuerza que genere energía del exterior a un determinado sistema su comportamiento no sería exactamente armónico.

Debemos tener claro que al suministrar energía a un sistema al mismo ritmo que esta se disipa, tendríamos un movimiento de tipo estacionario como pudimos observar en la figura 2 cuando dicha curva comienza a comportarse uniformemente, en donde su amplitud o máxima elongación no variaría o lo haría muy poco, pero si lo hacemos entregando más energía de la que se gasta o disipa, notaríamos que la energía de dicho sistema se incrementaría a pasar el tiempo y esto se reflejará en un aumento de la amplitud (A) del referido movimiento.

La frecuencia con la cual transferimos o trasladamos desde el exterior el máximo de energía a un determinado sistema con movimiento armónico forzado la denominamos frecuencia de resonancia (ω0), esta frecuencia concuerda con la frecuencia natural de dicho sistema, es decir, aquella frecuencia con la cual se origina tal movimiento libremente.

La resonancia es un espectacular fenómeno relacionado a un movimiento armónico forzado el cual se origina en un determinado cuerpo que tiene la capacidad de vibrar y ser doblegado por la ejecución de una fuerza periódica, y en donde el periodo de vibración se aproxima al respectivo periodo de vibración correspondiente al mencionado cuerpo, por lo que la acción o aplicación de una fuerza respectivamente pequeña la cual es aplicada de manera repetida logra que la amplitud (A) del movimiento vibratorio se convierta en muy grande.

Muchos ejemplos o anécdotas se conocen acerca de este tipo de fenómeno en actividades cotidianas, tal como fue el caso del derrumbe de un puente mientras por el transitaba un grupo de soldados los cuales seguían el paso uniformemente, debido a que dicho movimiento repetitivo coincidió con la frecuencia característica de vibración de dicho puente este colapso, se dice que debido a este hecho los soldados rompen filas al momento de pasar por algún puente.

Uno de los hechos más relevantes lo representó la caída del puente de Tacoma Narrows por el mes de julio de 1940, en donde un viendo con dirección lateral de no tan grande intensidad logró que la estructura central del puente oscilara hasta llegar a su estado de resonancia, logrando que la amplitud de dichas oscilaciones crecieran paulatinamente hasta que el puente se derrumbó.

Podríamos decir que cualquier sistema mecánico estará sometido a la acción de una fuerza la cual hace que se genere un movimiento forzado como los ejemplos del ventilador o licuadora que sin control de la energía suministrada dicho sistemas se colapsarían, es por eso que siempre son necesarios los soportes de amortiguamiento para poder equilibrar las fuerzas externas aportadas y evitar un posible colapso, es decir, es imprescindible generar en los sistemas mecánicos movimientos armónicos forzados-amortiguados o en su defecto movimientos forzados- amortiguados.

Las matemáticas a través de su lenguaje abstracto nos ha permitido acercarnos cada vez más al entendimiento de nuestro entorno, esto lo realizado a través de sus imponentes modelos algebraicos los cuales son representaciones abstractas de un determinado aspecto de nuestra realidad, debido a que los mismos tienen como característica principal la simplificación de algunos detalles de nuestro entorno, ya que de eso se trata reducir la complejidad de nuestro mundo real.

Cuando hablamos de cualquier tipo de movimiento armónico siempre nos encontraremos a los fenómenos oscilatorios y sobre todo al más importante de ellos como lo es el movimiento armónico simple (M.A.S.) el cual lo hemos podido describir matemáticamente logrando de esta manera poder interpretar innumerables movimientos presentes en nuestra imponente naturaleza.

Al referirnos a la expresión amortiguación siempre pensamos en suavidad, elasticidad, es decir, equilibrio en cuanto al funcionamiento de un determinado sistema físico, es por eso la importancia de este tipo de movimiento entre nosotros por lo que es necesario poder conocer algunos modelos matemáticos utilizados para la comprensión de este tipo de fenómeno.

Por lo tanto podemos refiriéndonos a un determinado sistema sin amortiguamiento, es decir, aquel movimiento sin la presencia de algún tipo de rozamiento y cuya expresión o formulación matemática es la siguiente ecuación diferencial:

Recordemos que la solución de la ecuación (1) la misma que indica la diferenciación de la magnitud (X) en relación al tiempo, es la reconocida ecuación del movimiento armónico simple:

Cuando tenemos un sistema con movimiento armónico amortiguado, es decir, sometido a cualquier tipo de rozamientos y cuya fuerza es proporcional a la velocidad de la partícula, cuerpo u objeto de dicho sistema, tenemos la siguiente ecuación diferencial para dicho movimiento:

En cuanto a la diferenciación temporal del ángulo β en relación con el tiempo la denominaremos como sigue a continuación:

En la ecuación (5) observamos la inclusión de la expresión exponencial, la cual hace que la amplitud de dicho movimiento va disminuyendo con el correr del tiempo. Cualquier modelo matemático nos permitirá afianzar el entendimiento hacia cualquier fenómeno presente en nuestro entorno como lo hemos podido notar en los análisis de cada uno de los movimientos estudiados tanto anteriormente como en el presente, todo esto ha convertido a los modelos matemáticos en el verdadero lenguaje abstracto universal implementado por la ciencia en pro de toda la humanidad en todos los aspectos.

Seguimos resaltando la característica de complejidad del fabuloso fenómeno del movimiento ya que los encontramos en nuestro entorno en distintas presentaciones y formas, en esta oportunidad tenemos al complejo movimiento armónico forzado-amortiguado indispensable para cualquier sistema físico o mecánico presente en nuestro universo, la ciencia a través de la física y las matemáticas nos ha permitido la sabia interpretación de este tipo de fenómeno ya que debido a esto lo hemos transmitido hacia cualquier sistema fabricado por el hombre.

Muchos son los movimientos armónicos forzados-amortiguados que forman parte de nuestra cotidianidad y en el desarrollo de este artículo hemos podido relacionarnos con aquellos sistemas mecánicos que utilizamos en nuestras actividades, tales como el vehículo, ventilador, licuadora y cualquier otro tipo de sistema mecánico que requerimos para facilitar dichas actividades cotidianas.

En los sistemas mecánicos antes mencionados podemos decir que además de presentar un movimiento armónico forzado-amortiguado también se presenta el movimiento circular, como es el caso de las ruedas del automóvil, el aspa del ventilador o cuchilla de la licuadora lo cual hace que cualquier tipo de movimiento dependa de la compilación o combinación de otros con la finalidad de lograr tanto la estabilidad de cualquier sistema, lo cual permite un mejor y adecuado funcionamiento.

Por lo general todo sistema mecánico necesitará de la acción de una determinada fuerza la cual lo obligará, es decir, forzará a realizar algún tipo de movimiento que permite que dicho sistema pueda funcionar, teniendo en cuenta el efecto de la resonancia ejercida por las fuerzas aplicadas ya que estas podrían ocasionar el colapso o ruptura del sistema, es entonces que la amortiguación tanto natural como mecánica juegan un vital papel en el debido funcionamiento de los innumerables sistemas tantos naturales como aquellos diseñados por el hombre.

Para concluir mis amigos lectores, los distintos fenómenos de movilidad armónica bien sean de índole simple o compuestos (complejos) permanecerán siempre a nuestro lado hasta el fin de nuestros días brindándonos mayor estabilidad social y gracias a ciencias como la cinemática y la geometría analítica podemos afirmar que estaremos cada vez más cerca a nuestro medio natural.

Hasta otra oportunidad mis apreciados lectores de steemit, en especial a los miembros de la gran comunidad de #STEM-Espanol, los cuales reciben el apoyo de otras tres grandes comunidades como los son #steemstem, #utopian-io y #curie, por lo cual recomiendo ampliamente formar parte de este hermoso proyecto, ya que resalta la valiosa labor de la academia y del campo científico, pero sobre todo, por el gran respecto, dedicación y ayuda para sus miembros.

Nota: Todas las imágenes fueron elaboradas usando las aplicaciones Paint, Power Point y el gif animado con la aplicación de PhotoScape.

[1] Charles H. Lehmann. Geometría Analítica. Décima tercera reimpresión. Editorial Limusa. México, D.F. 1989.

[2] Jennings, G.A. Geometría moderna con aplicaciones. Springer, New York, 1994.

[3] Snapper, E., Troyer, R.J. Geometría afín métrica. Dover, New York, 1971.

[4] Raymod A. Serway y John W. Jewett, Jr. Ed. Thomson. Física. Edición 1 y 3. [5] Giancoli, D.C. Física, principios y aplicaciones, Reverté S.A. España, 1985.

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[8] Prieto Santiago, Rodríguez, Silveira Ismael. Física General 1. Universidad de la República; Instituto de física, Facultad de ingeniería - UdelaR, 2007.

[9] Física para Ciencias e Ingeniería. Raymond A. Serway, Robert J. Beichner. 5ta edición. Tomo I. McGraw-Hill.