Ya en este punto muchos estudiantes universitarios ya habrá tratado con funciones reales en sus estudios de secundaria, ya que los estudios de matemática de bachillerato contempla el estudio de funciones. Ahora bien debido que el estudio de las funciones son fundamentales en Cálculo y sirven como un concepto que unifica todo los tópicos referidos al cálculo infinitesimal.

Debido a las premisas nombradas anteriormente, es que resulta necesario proporcionar una serie de herramientas dentro del estudio de las funciones, donde se proporcione ejemplos claros donde las funciones sean fuente primordial para desarrollar modelos matemáticos donde se puedan aplicar conocimientos de funciones dentro de un contexto que abarque situaciones del mundo real donde a posterior se utilicen algunas aplicaciones del cálculo infinitesimal.

¿Por qué es necesario estudiar funciones en cálculo?

Para lograr comprender la importancia fundamental del estudio y entendimiento de las funciones dentro del cálculo es necesario evaluar todo el contexto de lo macro a lo micro, es decir nombrar todos los aspectos que son fundamentales dentro del cálculo, y posteriormente ir dilucidando la situación hasta llegar a la verdadera clave del entendimiento del cálculo, que no es más que la comprensión de las funciones.

Las dos operaciones matemáticas fundamentales en Cálculo son la diferenciación y la integración. Estas operaciones implican la determinación de la derivada y de la integral definida, cada una de estas con base en la noción de límite, considerando al concepto de límite el más importante dentro del cálculo, ya que es la base primordial donde se sustenta el estudio de la diferenciación y la integración. La pregunta justa y necesaria en este punto es: ¿El límite se estudia sobre qué aspecto? ya sabemos que la palabra límite la asociamos con la de frontera, es importante mencionar entonces que el límite dentro del cálculo se estudia de una función real, es decir "el límite de una función real", no me extenderé demasiado explicando lo que es el límite de una función, ya que ese estudio es motivo de entendimiento para otra publicación posterior. Lo importante del caso para esta publicación es el hecho de que si el límite se va estudiar es de una función real, entonces implica que es necesario tener comprendido previamente todo lo relacionado al estudio de las funciones reales.

Definición de una función de variable real

Para poder elaborar un concepto que nos defina claramente lo que es una función de variable real, quiero dar a conocer primeramente el siguiente ejemplo:

Con frecuencia, en las aplicaciones prácticas el valor de una variable depende del valor de otra, para comprender esto prestemos atención en lo siguiente:

El salario de una persona puede depender de las horas que trabaje, solo por citar una sola causa que puede hacer variar su sueldo, aunque pueden influenciar más. Si tomamos en cuenta el salario de la persona como (A) y las horas de trabajo de esa persona como (B), podemos concluir que (A) depende de (B), lo cual implica que A sea la variable dependiente y (B) la variable independiente.

La relación entre este tipo de cantidades se suelen expresar mediante una función, y como el tema que es exclusivamente de estudio en esta publicación es el de funciones reales, entonces las cantidades involucradas en estas relaciones son números reales.

Por lo expuesto anteriormente podemos considerar a una función como una correspondencia de un conjunto X de números reales x a un conjunto Y de números reales y, donde el número y es único para cada valor específico de x.

Fuente de imagen wikimedia commons
Autor de la imagen: kismalac, el cual declara que los derechos de autor de la imagen, lo público bajo la siguiente licencia: Reconocida-CompartirIgual 3.0 Unported de Creative Commons .

El conjunto X de los números reales se denomina Dominio de la función y el conjunto Y de números reales asignados a los valores x en X es el contradominio de la función.

Tomemos el ejemplo de la imagen que expresa la correspondencia de lo que es una función, el dominio de la función lo representan las seis figuras geométricas, ya que estas figuras representan el conjunto de partida de esa relación denominada función, ahora bien el contradominio o muchas veces llamado rango de la función lo representa el conjunto formado por: {3,4,5,7}, estos elementos representan el rango de la función, la pregunta en este caso sería: ¿por qué los números: 1,2,6,7 y 8 no pertenecen al rango de la función?. Para responder a esta interrogante cabe recordar que el rango de una función es aquel conjunto formado por todos aquellos elementos del conjunto de llegada que tienen relación con los elementos del conjunto de partida, debido a que el conjunto formado por: {1,2,6,7,8} no tienen relación con los elementos del conjunto de partida, implica que estos elementos no pertenecen al rango de la función.

Otro ejemplo lo tenemos con la siguiente imagen:

Fuente de imagen wikimedia commons
Autor: Bin im Garten, el cual declara: Yo, el propietario de los derechos de autor de este trabajo, lo público bajo la siguiente licencia: Reconocida-CompartirIgual 3.0 Unported de Creative Commons .

El dominio de esa función lo representa el conjunto formado por X= {1,2,3}, el rango o contradominio está formado por el conjunto Y={D,B,C}, donde el elemento A no pertenece al rango debido a no tener relación con ningún elemento del conjuntoX.

Definición de gráfica de una función

Podemos decir entonces que la gráfica de una función son todos los puntos (x,y) del plano para los cuales (x,y) es un par ordenado de la función f.

De este concepto se deduce que la gráfica de una función f es la misma que la gráfica de la ecuación y= f(x)

¿Cómo demostrar que una gráfica es función o no?

Para entender de una manera práctica si una gráfica es función o no, es importante recordar que en una función existe un solo valor de la variable dependiente para cada valor de la variable independiente del dominio de la función, esto significa que:

Una recta vertical intersecta la gráfica de una función a lo más en un punto.

Para demostrar el enunciado anterior, realizare dos gráficos, uno en el que graficare una parábola cuya ecuación es y la otra gráfica será la ecuación La idea es trazar la recta vertical X=2 para observar en cuantos puntos corta cada una de las gráficas, si la recta vertical X=2 corta al gráfico en un solo punto quiere decir que el gráfico es una función, y si la recta vertical X=2 corta al gráfico en dos puntos significa que el gráfico no representa una función.

Para realizar estos dos gráficos me apoyaré en el software geogebra, los gráficos los exportare como imágenes y los editare en Microsoft PowerPoint:

Como podemos observar en la imagen la ecuación que representa la parábola es una función, ya que cuando se le aplica la prueba geométrica de trazar una recta vertical, está solo la corta en único punto.

Muy en contraste tenemos este caso, la gráfica representa una circunferencia de radio 5, la cual es cortada por la recta vertical X=2 en dos puntos, lo cual contradice la prueba geométrica, por lo tanto la ecuación no representa una función.

Aporte educativo

Hasta este punto ya la teoría de funciones reales debe haber brindado el entendimiento para relacionar la teoría de conjuntos con las gráficas en el plano cartesiano, es muy importante también hacer saber sobre los conceptos de dominio y rango de una función real con ejemplos diversos que ayuden a comprender a los estudiantes sobre los elementos que pertenecen al dominio y rango de una función, y los que no pertenecen.

El otro aporte importante es el hecho de poder aplicar la teoría geométrica de la recta vertical, la cual enuncia que cualquier gráfico del plano cartesiano al cual se trace una recta vertical, está solo la debe de cortar en único punto para que sea función. Este hecho geométrico lo que traduce es que a cada elemento del dominio solo le debe corresponder un solo elemento del codominio de la función, ya que según la definición de función se esto no ocurre entonces la relación existente entre los dos conjuntos no es una función.

Conclusión

Sin lugar a dudas en mi experiencia educativa del cálculo a nivel universitario siempre he recalcado la importancia del estudio de las funciones reales como pilar fundamental para solidificar las bases y poder comprender todo lo relacionado al cálculo diferencial e integral.

A todo esto no se le puede restar importancia a las funciones dentro de las aplicaciones que estas tienen dentro del campo de la ingeniería y la ciencia, es decir que no solamente para entender el cálculo en esencias importante su estudio sino también para poder dar solución a muchos problemas donde una variable dependa de lo que pueda variar otra. Ejemplos de estos casos se tiene la variación del volumen y la presión de un gas cuando es sometido a una variación de la temperatura. Toda esta variación se puede llegar a expresar mediante una ecuación que represente una función.

Cuando ya estas variaciones dejan de ser constantes, es donde entra el estudio del cálculo diferencial, pero para ello hay que entender la teoría de límite de una función real, lo que implica también el conocimiento obtenido previamente de las funciones reales.

Es importante ver a una función como una caja de transformación de valores, donde los valores que entran a la caja son los elementos del dominio, una vez que entran a la caja son convertidos en los elementos del conjunto del rango de la función. Esto se traduce a:

Fuente de imagen de wikimedia commons. Dominio Público

También puede significar esta caja (función) la ecuación que transforma los valores del conjunto de partida en las imágenes de cada elemento del dominio.

Referencia bibliográfica consultada

Libro de Cálculo. Autor: Louis Leithold. 7ma edición. Editorial Oxford. México 1998

Otras referencias bibliográficas recomendadas

Libro de cálculo con geometría analitica. Autor: Larson y Hostetler. Volumen I.