Expresiones algebraica (Monomios y Polinomios) // Conformación, operaciones fundamentales y aplicación práctica a la ciencia.

in #stem-espanol6 years ago (edited)

Introducción:

En esta publicación estaré resaltando la importancia que tienen las expresiones algebraicas de tipo monomios y polinomios, algunas operaciones importantes que con las misma se realizan en cualquier área del desarrollo humano sobre todo en el científico.

Comencemos entonces a descifrar este lenguaje e ir armando algunas expresiones algebraicas, resaltando que la característica más importante es la generalidad que obtenemos al momento de su implementación, es decir, cuando logramos formular un planteamiento o enunciado mediante la utilización de letras o símbolos, estamos en la presencia de una expresión algebraica, la cual nos servirá para resolver dicho planteamiento como cualquier otro de característica similar, en términos más prácticos.

Es importante conocer cómo podemos estructurar o conformar una determinada expresión de tipo monomio o polinomio mediante una actividad práctica que podemos observar en nuestro entorno, en el mismo encontramos innumerables fenómenos estudiados por la ciencia por medio de la estructuración y aplicación de expresiones monomicas o polinomicas, por lo tanto, observamos objetos o figuras que para su respectivo estudio necesario es conocer en determinada ocasión el total del área a niveles atómicos, moleculares o del sistema en general.

Elaboración o conformación de una expresión monomica:

Mediante un ejercicio práctico y general conocida por todos utilizaremos la figura geométrica llamada cubo, si quisiéramos saber el área total para cualquier cubo sin importar su tamaño, podemos hacerlo utilizando una formulación general, es decir, una expresión algebraica monomica o polinomica:

Al desplegar esta figura geométrica, notamos los síes (6) lados cuadrados que la conforman, por lo tanto las medidas de cada lado de una de sus caras son exactamente simétricas o iguales, por eso para el área de cada cara lo representamos con la variable x elevada al exponente 2, para conocer el área total de todos sus lados nos queda la siguiente expresión monomica:

Elaboración o conformación de una expresión polinomica:

Pero si queremos hacer lo mismo para conocer el área total de un prisma recto con base cuadrada y aristas de longitudes x, y; por lo tanto, para su área total tenemos:

De esta manera obtenemos la expresión polinomica:

Con estos dos ejemplos damos paso a las formulaciones de expresiones monomicas y polinomicas, una de las bases fundamentales para la consolidación de otros conocimientos tales como ecuaciones, gráficas y funciones también de gran utilidad para el campo de la ciencia en todos los ámbitos, puntos que en otras publicaciones estaré ampliando.

Ahora es importante conocer o profundizar sobre algunos aspectos o características fundamentales tanto de los monomios y polinomios:

Aspectos fundamentales:

Monomios:

Las expresiones como,6x^2, 4xy o 2x^2 , las cuales obtuvimos en los ejemplos anteriores reciben el nombre de monomios, estos están formados por una parte literal y otra numérica los mismos representa lo siguiente:

Es muy importante recordar que las primeras letras del alfabeto nos sirven para designar coeficientes, mientras que las últimas letras la utilizamos para representar las variables de una determinada expresión algebraica de tipo monomica para este caso, por ejemplo:

Si tenemos la expresión 5ax, el coeficiente será 5a mientras que la variable es la Literal x, debido a que para este caso las literales (a) y (X) no representan cosas del mismo tipo, debido a que la letra (a) representa un valor fijo o constante, aunque no especifiquemos cual sea ese valor, mientras que la literal o letra x puede representar cualquier valor.

Es importante resaltar que en ciertas ocasiones algunos confunden la expresión del monomio, esto es debido a que por el prefijo mono lo relacionan con un solo termino, lo cual es cierto pero por ejemplo:

A pesar que dicho término está compuesto por un número, tres variables y un exponente, todos ellos representan una sola expresión, ya que al darle valores a las variables el resultado será una cantidad única, es decir, consideremos darle valores a las tres variables, para x=2; y=3; z=1

Tendríamos entonces:

Grado de un monomio:

Cuando estamos en presencia de un monomio, el grado del mismo lo determinamos mediante la suma de los exponentes a los que se encuentran elevadas las variables, sean estas del mismo tipo de literal o no, por ejemplo:

Monomios con variables representadas con la misma literal o letra, en este caso la x.

Pero también tenemos casos de monomios de grado dos con las siguientes características:

Esto cumple con lo descrito anteriormente, sumamos los exponentes de las variables a pesar de estar representadas por diferentes o distintas letras, es decir, tanto x como y están elevadas a la 1, por lo tanto 1+1= 2, esto nos determinara el grado de dicho monomio.

Otro ejemplo de este tipo:

Recordemos que cuando estamos en presencia de un coeficiente el cual no represente el producto con alguna variable su grado es considerado = 0.

Polinomios:

Los polinomios son expresiones conformadas por dos o más monomios, por lo general nos encontramos polinomios del tipo: 2x+3xy, los cuales lo denominamos binomio, y si tenemos 4yz+6xz+5xyz, lo denominamos trinomios, esto es debido a la cantidad de monomios presentes en tales expresiones, dos (2) para el primer caso y (3) para el segundo caso, pero lo importante es no dejarnos confundir, y tener claro que a partir de dos términos estamos en presencia de un polinomio, y las otras denominaciones son casos particulares para su identificación, es decir, tipos de polinomios.

Grado de un polinomio:

Para este caso nos dejamos llevar por el mayor de los grados de los monomios que forman dicha expresión polinomicas, ejemplo:

Expresión cuyas variables están representadas solo por la literal o letra x.

Expresión polinomica representada por variables cuyas literales son diferentes:

Orden de un polinomio:

Los polinomios se acostumbran a escribirse de manera ordenada, siguiendo el patrón decreciente de los exponentes de las variables y respecto a dichas variables, ejemplo:

Ahora esta misma expresión la ordenamos con respecto y:

Despues la ordenamos con respecto a la tercera variable que se utiliza, es decir, z:

Podemos resaltar que un polinomio es completo siempre y cuando aparezcan en una de sus variables todos los exponentes de forma consecutiva, como para el primer caso.

Operaciones con monomios y polinomios:

Suma y resta de monomios:

Es importante resaltar que un polinomio es cualquier suma o resta de monomios, por lo tanto podemos realizar dichas operaciones formalmente, pero en la práctica nos conviene poder sumar o restar monomios iguales a semejantes, es decir, aquellos en donde aparecen las mismas variables y elevadas a los mismos exponentes o potencias, en este caso dichas operaciones se reducirán al sumar o restar sus coeficientes, ejemplo:

Suma y resta de polinomios:

Producto de polinomios:

Para resolver el producto de dos polinomios multiplicamos término a término de un polinomio con el otro y luego sumamos o restamos los monomios iguales según sea el caso con sus variables:

División de polinomios:

Al igual que la división de números, este tipo de operación puede dar exacta o no, cuando no lo es consideramos dicha división entera, ya que consiste en el cálculo de dos polinomios, uno denominado polinomio cociente y el otro resto, por lo tanto, podemos afirmar que el dividendo tiene que ser igual al producto del divisor por el cociente, más el resto.

Para la resolución de este tipo de división de polinomios de misma variable, podemos considerar como apoyo de comprobación dos importantísimas herramientas como lo representan el teorema del resto y la regla de ruffini, ambos nos aportan información que nos permiten bien sea simplificar dicho proceso o comprobar el mismo.

Teorema del resto:

Mediante su aplicación podemos obtener el resto de la división de un polinomio por un binomio del tipo (x-a) o (x+a), con variables, por lo tanto, consiste en tomar el valor numérico de la constante (a) cambiándolo de signo y sustituirlo en las variables x de un determinado polinomio, ejemplo: Dados los siguientes polinomios, dividir P(x) por Q(x), aplicar el teorema del resto:

De esta manera podemos obtener el resto de la división de los polinomios, sin la necesidad de resolver el mismo, más adelante desarrollaremos la división tal cual como se realiza para utilizar el resultado de este teorema para su comprobación, antes es necesario aplicar la otra herramienta mencionada, es decir, ruffini.

Regla de Ruffini:

Mediante esta regla podemos encontrar tanto el cociente como resto de una división de un polinomio por un binomio del tipo (x - a) o (x + a), consiste en tomar los coeficientes del polinomio P(x), para luego multiplicarlos con el valor de la constante (a) del binomio en cuestión pero cambiándolo de signo, como se muestra en la figura a continuación:

Ahora aplicada las dos herramientas antes descritas, es decir, Teorema del resto y Regla de Ruffini procedemos a la resolución de la división de los polinomios mencionados, con ello podemos verificar si tanto el resto y cociente nos dan iguales.

Al resolver dicho polinomio comprobamos que la aplicación tanto del teorema del resto y Ruffini coincide con los resultados en esta operación, tanto en el resto como en el cociente, por lo tanto podemos utilizarlos para la comprobación de las tres operaciones.

Aplicaciones en el campo científico:

Una de las actividades que mejor sabe realizar la ciencia de la biología es la de cultivo de bacterias y mediante la utilización de polinomios en expansión calculan la cantidad poblacional del respectivo cultivo, de igual forma podemos calcular y conocer la estructura tridimensional de las proteínas por medio de la cristalografía de los rayos -x-.

Pero una aplicación más práctica lo representa el hecho de poder conocer el nivel de propagación de una determinada enfermedad, esto mediante la utilización de un polinomio de segundo o primer orden el cual dependerá sin duda de la cantidad de personas en contacto, entre sanas y contagiadas.

En el campo científico de la física los polinomios juegan un importante papel para la estructuración de expresiones o formulaciones para el estudio de determinados fenómenos como el de la gravedad, la cual representa la fuerza de atracción del centro de la tierra hacia cualquier objeto o cuerpo en la superficie de la tierra.

El lenguaje abstracto es un amplio y complejo campo el cual impacta en incalculables áreas del desarrollo intelectual humano especialmente el científico, por medio de expresiones monomicas y polinomicas nos podemos introducir a este maravilloso mundo de abstracción, el cual estará siempre en contacto permanente con el saber de nuestro entorno.

Nota: Las imágenes utilizadas fueron trabajadas y agrupadas en Microsoft Word 2010 en Windows 7 y luego editadas en paint para la consolidación de las imágenes.

Referencias Bibliográficas utilizadas:

1.- Algebra de A. Baldor, Edición 1992 copyright compañía cultural editora y distribuidora de textos americanos, S.A.

Fuentes digitales consultadas:

Fuente 1
Fuente 2

Sort:  

Felicitaciones muy buen Post @rbalzan79 explicado a detalle y con muy buenos ejemplos prácticos.
Saludos.

Excelente publicación, no solo por el hecho de darnos a conocer todas esas expresiones algebraicas, sino por su aplicación en las ciencias biológicas, sigue así @rbalzan79. Saludos

Gracias por tu buen comentario @carlos84, las expresiones algebraicas son las mas poderosas herramientas para la consolidación del conocimiento científico en general.

Saludos.

¡Bravo! Buenísimo tu post @rbalzan79. Explicas de manera distendida y con todo muy paso a paso, de tal manera que cualquiera pueda entender. Felicitaciones.

Gracias por tu valioso comentario @juancrdrums , esa es la idea ser lo mas explicativo posible para entendernos todos y facilitar la comprensión de un Post matemático.
Saludos.

Hola! Buen post. Muy útil para aprender todo esto apropiadamente desde el bachillerato. Sería interesante si los ejemplos de su aplicación en la ciencia pudieran evidenciarse los polinomios. Felicidades.

Gracias por tu comentario @eniolw, tendré en cuenta tu valiosa recomendación.
Saludos.

Hola! amigo @eniolw, le realice un pequeño ajuste a mi publicación motivado a su importante recomendación ya que para eso estamos para ayudarnos a crecer mutuamente gracias y saludos.

¡Felicidades, #proconocimiento te valoró!


Has sido reconocido(a) por tu buen post por el Comité de Arbitraje y Valoración del Proyecto Conocimiento @proconocimiento.

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