Ecuaciones lineales/Aplicaciones en la economía
Las ecuaciones lineales son los objetos matemáticos que presentan mayor aplicabilidad en la vida cotidiana, estas se aprenden a usar desde los estudios más tempranos de la matemática a finales de la primaria y comienzo de la secundaria.
Se aplican en diferentes contextos, y para resolverlas se requiere del manejo de la traducción de expresiones verbales a ecuaciones.
Expresiones como:
| El doble de x | La mitad de y | x aumentado en 2 | y disminuido en 5 | x excede a y en 3 |
|---|---|---|---|---|
| 2x | y/2 | x+2 | y-5 | x-y=3 |
Son ejemplos de expresiones que aparecen en los problemas verbales que deben ser traducidos al lenguaje matemático y expresado como una ecuación, con la finalidad de ser resueltos.
A nivel universitario, en las carreras de negocios es común ver problemas como el siguiente:
El costo de publicación de cada ejemplar de la revista semanal “Compre y venda” es de 35 ¢. Los ingresos por venta de distribución son de 30 ¢ por ejemplar, y los ingresos por publicidad del 20% sobre los ingresos obtenidos por ventas más allá de los 2000 ejemplares. Cuántos ejemplares deberá publicar y vender cada semana para obtener ingresos semanales de al menos 1000$.
El problema está lleno de expresiones que deben ser traducidos a expresiones matemáticas, usando la lógica. Comenzaremos con los razonamientos respectivos con la finalidad de llevarlo a la expresión matemática deseada con la finalidad de resolverlo.
En el problema se hace referencia a varias expresiones, las cuales vamos a denotar con letras de manera conveniente:
| Expresión | Denotación | |
|---|---|---|
| Costo de producción | Cp | |
| Ingreso por venta | Iv | |
| Ingreso por publicidad | Ip | |
| Cada ejemplar publicado y vendido | x | |
| Más allá de los 2000 ejemplares | x – 2000 | |
| Ingresos semanales totales | It | |
| De al menos 1000 $ | It ≥1000 |
Planteemos el problema:
Nos preguntamos ¿Cuánto es el costo de publicación?
Respuesta: 0,35 por cada ejemplar, es decir que Cp=0,35x
Nos preguntamos ¿Cuánto es el ingreso por venta de cada revista: Iv=0,30x
Nos preguntamos Cuál es el ingreso por publicidad?
El ingreso por publicidad es el 20% del ingreso por venta ( Iv=0,30x) más allá de los 2000 ejemplares.
Esto es: Ip= 20/100[0,30(x-2000)]
Obsérvese que hay dos tipos de Ingreso, uno por venta (Iv) y otro por publicidad (Ip); por lo tanto, el ingreso I es la suma de estos dos ingresos: I= Iv +Ip
Determinemos el ingreso en función de esta suma:
I = 0,30x + 20/100(0,30x)(x-2000)= 0,30x + 0,2(0,30(x-2000))= 0,30x + 0,6x(x-2000)= 0,30x +0.6x – 120= 0,36x -120
Luego I = 0,36x -120
Para determinar cuántos ejemplares se deberán publicar y vender cada semana para obtener ingresos semanales de al menos 1000$, debemos trabajar con los ingresos totales It, para obtener este ingreso, debemos restar los ingresos semanales con los costos de producción; de esta manera obtendremos la ganancia o ingreso total semanal, el cual debe ser de al menos 1000$.
Esto es: It: I – Cp ≥1000
0,36x -120- 0,35x ≥ 1000
Esta desigualdad se resuelve usando los mismos pasos de una ecuación lineal, solo que la igualdad es sustituida por una desigualdad.
0.36 - 0,35x ≥ 1000 + 120
0,01x ≥ 1120
X ≥ 1120/0.01
X ≥ 112000