MATH GAM∑ - my solution to this problem

Problem.

In the middle of the square, take an arbitrary point O and connect it to the middle of its sides. Four quadrilaterals were formed, the areas of three of them - 16, 20, 32 square meters. Find the area of ​​the fourth.

Задача.

В середині квадрата взяли довільну точку О та з'єднали її з серединами його сторін. Утворилися чотири чотирикутники, площі трьох із них - 16, 20, 32 кв.од. Знайти площу четвертого.

Аж дев'ять місяців тому задавав цю задачу, проте своє рішення не відтворив. А тут на днях знайшов чернетку свого розв'язування.
На той час мені треба було хоч як розв'язати задачу - я розв'язав так, хоч вона розв'язується простіше. Все залежить від того що добудовувати спочатку)))

I set this task only nine months ago, but I did not reproduce my decision. And these days I have found a draft of my solution.
At that time, I needed to solve the problem in some way. I solved it this way, although it is easier to solve. It all depends on what line to build first)))

Позначимо площі вказаних чотирикутників через S₁=16, S₂=20, S₃=32, S₄ треба знайти.

Let us denote the areas of these quadrilaterals by S₁=16, S₂=20, S₃=32, S₄ must be found.

З'єднавши середини сторін утворимо квадрат KLMN.
Опустимо перпендикуляри з точки О на сторони цього квадрата.

Connecting the middle of the sides to form a square KLMN.
Drop the perpendiculars from point O to the sides of this square.

Позначимо EO=a, HO=b, OG=c, OF=x
Видно що a+x=b+c як сторона EF прямокутника EFMN що рівна стороні NM квадрата, a+x=EF=NM=NK=GH=c+b
Площі трикутників ANM, DKN, CLK, BML рівні - позначимо їх площу S.

Let EO = a, HO = b, OG = c, OF = x
It is seen that a + x = b + c as the side EF of the rectangle EFMN that is equal to the side NM of the square, a + x = EF = NM = NK = GH = c + b
The areas of the triangles ANM, DKN, CLK, BML are equal - denote their area S.

Знайти б площу трикутника LOM, чи його висоту - тоді б ми знали площу S4.

To find the area of ​​the triangle LOM, or its height - then we would know the area S4.

Запишемо площі S₁-S₄ через S,a,b,c,x

Let's write down the area S₁-S₄ through S, a, b, c, x

S₁=S+ac/2+xc/2
S₂=S+ac/2+ab/2
S₃=S+ab/2+bx/2

S₄=S+xc/2+bx/2
Замінимо доданки з невідомим (х) з попередніх рівностей

Replace the terms with the unknown (x) from the previous equations

xc/2=S₁-S-ac/2
bx/2=S₃-S-ab/2
Тоді

Then
S₄==S+(S₁-S-ac/2)+(S₃-S-ab/2)=
=S₁+S₃-S-ac/2-ab/2=S₁+S₃-(S+ac/2+ab/2)=S₁+S₃-S₂=16+32-20=28

Вийшов цікавий факт: сума площ протилежних чотирикутників - однакова. 20+28=16+32

An interesting fact came out: the sum of the areas of opposite quadrilaterals is the same. 20 + 28 = 16 + 32

@ir3k, показую свій розв'язок ))