Após ter entendido o que significa possuir bitcoins (https://steemit.com/pt/@silvio.carlos/o-que-realmente-significa-possuir-bitcoins), você pode encontrar uma Wallet para armazenar sua Private Key (código que garante a posse de bitcoins).

Basicamente, a escolha do tipo de Wallet, vai depender do nível de exposição ao risco e boas práticas de segurança que você possui.
Algumas opções:

Exchange

Prós: Você não precisa se preocupar em realizar transferências.
Contra: De todas as opções, essa é de longe a menos segura, pois além da Private Key não estar com você, são nas Exchanges que acontecem os ataques de Hackers e golpes que volta e meia aparecem na mídia.

Web Wallet

Prós: São carteiras online, onde você consegue acessar seus bitcoins de qualquer lugar.
Contra: Da mesma forma que nas Exchagens, a Private Key não fica com você e a segurança dos seus bitcoins ficam à cargo da empresa responsável pelo serviço.

Desktop/Mobile Wallet

Prós: A Private Key fica armazenada localmente em seu computador e mais ninguém tem acesso à ela.
Contra: Justamente por você ser o único responsável, precisará ter/criar bons hábitos de segurança.

Hardware Wallet

Prós: Dispositivo criado unicamente para armazenar sua Private Key.
Contra: Das opções, essa é a única que você necessariamente precisará gastar dinheiro para armazenar seus bitcoins.

Paper Wallet

Prós: A Private Key estará disponível apenas em um papel, junto com a Public Key (código para receber/depositar mais bitcoins).
Contra: Você precisa armazenar o papel e para gastar seus bitcoins, precisará importar a Private Key para uma Wallet.

Conselho: Na hora de escolher uma Wallet, dê preferência para projetos de código aberto (Open Source), pois seu código é testado/validado/auditado por toda uma comunidade e/ou qualquer um que tenha interesse.
Por Exemplo
• Para Desktop: Electrum (https://electrum.org)
• Para Mobile: Samourai (https://samouraiwallet.com)