Nonio y las milésimas de pulgada

Saludos a todos los usuario activos de la comunidad #stem-espanol y aquellos lectores que se interesa por el contenido STEM, en el post anterior Vernier un instrumento simple y preciso explique con el mayor detalle posible, como se obtiene la apreciación del Calibre en una escala de milímetros, pero solo para el ejemplar mostrado en dicha publicación, pero ¿Qué sucede con la apreciación de los otros calibres?, ¿Cómo la podemos identificar o leer correctamente?,estas son las principales interrogantes e inquietudes que quedaron sin aclarar, y cuya respuesta forman el tema principal de este post.

Para empezar, debemos recordar que todo instrumento u aparato de medición debe traer indicado su apreciación, en el caso del vernier se encuentra señalado por general en uno de los extremos de la regla fija, y varía según la unidad de las escala y tamaño de los vernier. El responsable de la apreciación en este instrumento es el nonio y su configuración marca la precisión en las medidas, del post anterior sabemos que el nonio básicamente lo que hace es contraer la escala principal de la regla, permitiendo que dicha contracción se refleje en la coincidencias de las divisiones de la escala del nonio y la escala unidad, de esta forma se determinan las décimas y hasta centésimas de la unidad considerada.

Entonces al hablar de configuraciones del nonio, nos referimos al modo en las que esta divisiones coinciden, el caso ya evaluado y mas sencillo, es donde se toma n divisiones de la escala unidad y se divide en n+1 partes iguales, para apreciar los otros casos podemos ilustrarlo con imágenes y denotar en ellas las variables mas importantes, pero previo a esto no esta demás conocer algunos datos interesantes acerca del nonio

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Un poco de historia

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En 1914 el matemático y astrónomo Pedro Nunes(1942-1577) invento un instrumento capaz de medir ángulos con una precisión cercana al minuto de arco, es decir 1⁰/60=1´, al cual se le denomino nonio en honor al nombre del autor en latín Petrus Nonius, aunque la idea en principio es ingeniosa , llevarla a la practica no resulto del todo viable, particularmente en el área de la navegación, donde se requería instrumentos con mayor precisión para la ubicación de los barcos en alta mar. El artificio de Nunes se basa en disponer puntos concéntrico en la zona interior a una escala principal en un cuadrante, de tal manera que al visualizar un astro, la recta de proyección puede pasar o estar cerca de cualquiera de estos puntos, como se muestra en la siguiente figura

^{Figura 1:Ilustración de la idea de nonio inventado por Pedro Nunes, imágenes de uso comercial bajo la licencia cc-by-sa-3.0 cortesía de Enciclopedia.us. Fuente de la imagen derecha e izquierda}

En el cuadro de la derecha observamos una escala en grados, graduada de 10⁰ para cada punto, los ángulos que forma la posición de las estrellas A y B no están especificados, dado a la apreciación de esta escala, lo mas cercano que podemos estar de la posición según nuestra percepción es de 55⁰ para la estrella A y de 33⁰ para la B asumiendo que nuestra visión sea buena. Mientras del lado izquierdo note que los puntos nombrados por I, II, III,IV y V dividen al cuadrante de 90⁰ en diferentes partes, por ejemplo para I lo divide en 8, por lo que cada punto corresponde a 11.25⁰ , para V cada punto seria de 22.5⁰, asi sucesivamente para las otras escalas, de esta manera la posición para la estrella A vendría dado por (90⁰/5) x 3= 54⁰, ya que al observar la recta de proyección notamos que pasa mas cerca del punto 3 de la escala IV que de otros puntos, para la estrella B el procedimiento es igual, observamos que la recta pasa claramente por el punto 3 de la escala I por lo que la posición queda en 11.25⁰ x 3= 33.75⁰. La diferencia entre ambos sistemas es evidente, la precisión en el cuadro izquierdo, viene de la disposición de las escalas ya mencionadas, y así notamos lo simple y eficaz de esta idea.

^{Figura 2:Escala Vernier para grados sexagesimales, imagen cortesía de Wikipediabajo la licencia CC BY-SA 3.0}

Un nonio propiamente para aquel entonces consistía en tomar un cuadrante y agregarle cerca de 44 escala hacia el interior, como se presenta en el cuadrante derecho de la figura 1, se podrán imaginar lo poco práctico y tedioso que resulta medir ángulos con tal instrumento. Mas tarde el matemático Pierre Vernier(1580-1637), se basa en la idea de Nunes para crear la escala vernier, que es el concepto visto en el post anterior, al igual que Nunes ataco el problema buscando la precisión para ángulos en el sistema sexagesimal , concluyendo en escalas auxiliares que permite medir en décimas de unidad una escala principal (ver figura 2), quizás por lo practico de su funcionamiento se adopto a instrumento de medición. Hoy en día se suele llamar nonio también a esta escala, en honor a Nunes como autor de la idea en la cual se baso Vernier, pero debemos estar claros que en principio son 2 concepciones distintas, por lo mencionado anteriormente, también es importante señalar que estas escalas no poseen unidad, es solo un mecanismo descrito como divisiones que le dan mayor precisión a un instrumento graduado en cierta unidad, de manera tal que el instrumento puede ser una regla, escuadra, trasportador, entre otros.

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Nonios parámetros generales

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Podemos considerar 2 criterios, por el cual se deben regir los nonios:

1. Las divisiones de esta escala, deben estar claramente desfasada de la escala que posee las unidades.
2. El desfase, que en ultimas representa la apreciación, debe estar dentro de nuestro rango visual en general, de manera que la distinción entre las divisiones que coinciden o no sean practicas.

Por medio del uso de la siguientes imágenes, describiremos de forma general las variables involucradas

^{Figura 3: Parámetros del nonio}

Donde:
U: Es la unidad del instrumento de medición, en este caso la regla
A: Es la apreciación.
D: Separación entre cada división del nonio
X: Longitud del nonio en unidades de la regla.

Nosotros podemos encontrar fácilmente relaciones para X y D en función del número de divisiones del nonio designada por la letra n, de manera que:

(1)

(2)

Entonces para la apreciación tenemos:

(3)

Lo que significa que la apreciación, no es mas que la unidad dividida entre las divisiones del nonio, note que también lo podíamos haber deducido de la ecuación (2) haciendo uso de la imagen . Entonces es claro que los parámetros que definen la apreciación de un instrumento que utiliza un nonio, es la unidad y el número de divisiones que posee esta escala auxiliar. Por ejemplo para el caso mostrado aquí tenemos que A= 0.2 U, es decir que cada división del nonio representa 2 décimas de unidad.

Ahora ¿n debe ser siempre mayor a la longitud del nonio?, no necesariamente ya que el desfase se puede lograr con otras divisiones, es decir el nonio puede tener las divisiones que quiera , pero tiene que contrastar con el segmento o la longitud escogida en la regla para que la apreciación pueda ser identificada, como se muestra en la figura 3, por ejemplo si consideramos un nonio de 10 divisiones, la longitud de este puede ser muy bien de 9U o 19U, el valor de A es el mismo en ambos casos, lo único que cambia es D, que seria de 0.9 U para la longitud de 9U y 1.9U para la longitud de 19U, las divisiones del nonio en el segundo caso quedan desplazada una unidad, a esto generalmente se le conoce como la constante de extensión (c), simplemente es un valor adimensional que va junto con n, e influye en la longitud del nonio de manera que la ecuación (1) toma la forma:

(4)

(4) es la ecuación por la que se caracterizan todos los nonios que nos podemos encontrar en los calibres, note que para nada influye en A, esto realmente hace que la visualización de las divisiones en el nonio sea mas apreciable cuando la unidad considerada es muy pequeña, por ejemplo consideremos el nonio de la figura 3, con una constante de extensión igual a 2, para este caso tenemos:

^{Figura 4:Nonio de 5 divisiones con C igual a 2}

Estudiemos un caso especifico como lo son las medidas en milésimas de pulgadas.

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Midiendo en milésimas de pulgadas

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Debemos recordar que una pulgada es una medida de longitud en el Sistema Anglosajón, casi semejante al centímetro, si queremos compararla con una unidad conocida, específicamente equivale a 25,4 mm y se identifica por medio de los símbolos in o ", una milésima de pulgada es simplemente 0.001 in, que es lo mismo que 0.0254 mm, como verán una longitud muy pequeña. Consideremos entonces el siguiente nonio

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El nonio corresponde al calibre presentado en el post anterior, la escala de la regla se encuentra graduada en pulgadas, del 1 al 2 hay una pulgada, y en ella (las pueden contar) hay 40 divisiones, por lo que la unidad tiene un valor de 0.025 in, es lo mínimo que se puede medir con la regla, luego con la ayuda del nonio con n =25 la apreciación aumenta a 0.001 in, como se muestra en la imagen. Note que la longitud del nonio supera la pulgada, esto es porque la constante de extensión c es 2.

¿Cómo conozco el valor de c?, por la posición de la primera división del nonio, si observamos (esta señalada) la primera división del nonio esta desfasada con respecto a la segunda división de la regla, luego la segunda con respecto a la cuarta, así sucesivamente, nosotros podemos identificar c a partir de que división de la regla comienza el desfase con respecto a la primera división del nonio, de manera que si el desfase se comienza a notar desde la división uno de la regla, entonces c es 1, si comienza a partir de la segunda, c es 2 como en este caso, la consecuencia es que el nonio gana longitud, ya que la separación de las divisiones aumenta en una proporción unitaria según el valor de c.

Al realizar medidas en milésimas de pulgadas hay que sacar algunas cuentas, el procedimiento es ver que división marca el cero de referencia del nonio, si marca una división exacta, coincidirá también la ultima división del nonio como se muestra en la imagen anterior, el cero se posa sobre el uno y la última división también coincide. Para medidas donde el cero marque un espacio entre 2 divisiones cualesquiera de la regla se toma como primer valor la menor división entre ambas, y el resto de la medida se toma de la división que coincida en el nonio.

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De la medida anterior, note que el cero marca entre la división 38 y 39, tomamos la 38 y lo multiplicamos por 0.025 in que es lo que vale cada división, esto es 0.95 in. Una forma útil es contar las divisiones a partir de las que esta indicada con los números 2,4,6, y 8 estas representa las décimas de pulgadas según el número, por ejemplo en este caso contamos luego de la división marcada con 8,que corresponde a 0.8 in, ya luego es mas fácil contar, la operación resulta en 0.025 in x 6 = 0.15 in y sumado a 0.8 in, tenemos 0.95 in.

Luego observamos con mayor atención posible que división del nonio coincide, para sumarla a la cantidad ya obtenida, aquí es donde se presenta un problema con la apreciación, note que en el nonio pareciera coincidir desde la número 5 hasta la 10 u 11, al ser tan mínima la discrepancia casi no se puede distinguir cual división coincide más, sin embargo para terminar la medida tomaremos la número 7, lo cual completa el valor en 0.957 in, cada división del nonio que coincida equivale a 0.001, como ya lo hemos deducido.

Una de las desventajas de trabajar con instrumentos de esta apreciación, es que no se puede leer con exactitud la medidas, al pasar las 0.5 centésimas de milímetros cuesta discrepar con seguridad que divisiones coinciden, lo mas recomendable es utilizar calibres o instrumentos cuya apreciación sea de 0.1 mm, pues en general se pueden distinguir sin mayor dificultad, el equivalente en milésimas de pulgadas seria de 3.93 mil, lo cual podemos redondear a 4 mil.

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En la imagen anterior queda claramente especificado el desfase tanto en milímetros como en milésimas de pulgadas.Por lo tanto aunque en la practica encontremos calibres de alta "precisión" de 0.05 mm, 0.02mm, 0.001 mil, estos no son del todo eficientes a la hora de leer tales medidas, pues el mecanismo basado en el nonio a nivel de regla esta muy limitado a nuestra visión, que en resumen se reduce a 0.1 mm, claro esto es en el caso de los calibres analógicos o mecánicos como el presentado aquí, en los digitales no hace falta esforzar la vista, simplemente anotamos lo que indica la pantalla, de esta forma es mas común ver calibres con escala en fracciones de pulgadas, las misma poseen una apreciación mas saludable para nuestra visión. Existen otros instrumento como el micrómetro que miden con bastante claridad las milésimas de milímetros y mejor aun las pulgadas, cuyo funcionamiento también utilizan nonios pero estos están dispuestos de forma circular.

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Hasta aquí mi explicación sobre el nonio y las milésimas de pulgadas, como siempre ha sido para mi un gusto tratar de explicar desde un enfoque básico, fácil y educativo esta pequeña información, espero les pueda ser de utilidad, y cualquier pregunta o sugerencia, no duden en comentar.

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Referencias bibliográficas:

• Nonio 1
• Nonio 2
• Maquinas cálculos de taller A.L. Casillas

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_{Todas las imágenes fueron tomadas con una camara samsung ES91 y editadas en power point}
Elaborado por:
José González
@joseg