ONDAS - PARTE 3: PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN Y ONDAS ARMÓNICAS
Respetuosos saludos a toda la gran familia de Steemit. Continuamos con la parte 3 (de 3) de los posts dedicados a las ondas. Trataré, como siempre lo he hecho, de presentar el contenido de la forma más sencilla y clara.
Las partes 1 y 2 las pueden conseguir en:
En el presente post:
Enunciaremos el importante Principio de Superposición.
Estudiaremos las Ondas Armónicas.
1. PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN
Apreciados Steemians-lectores, la idea de 
como superposición de ondas es consecuencia de la linealidad de la Ecuación de Onda (16) vista en el post 2. Si dos funciones de onda diferentes 
y 
son cada una solución de la ecuación de onda, entonces cualquier combinación lineal de ambas,
donde 
y 
son constantes, es también una solución. A esto es a lo que se le denomina Principio de Superposición. Según este principio la ecuación de onda se satisface, de una manera más general, por una función de onda de la forma,
Esta solución corresponde a la suma de dos ondas que viajan en sentidos opuestos a lo largo del eje 
, con la misma velocidad pero no teniendo, necesariamente, la misma forma.
El Principio de Superposición establece que cuando dos o más ondas se mueven en el mismo medio lineal, el desplazamiento resultante del medio (la onda resultante) en cualquier punto es igual a la suma algebraica de todos los desplazamientos originados por las ondas individuales. |
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Hay que tener presente que para las ondas mecánicas en medios elásticos, el principio de superposición es válido cuando la fuerza de restitución varía linealmente con el desplazamiento. Para las ondas electromagnéticas, el principio de superposición es válido porque los campos eléctricos y magnéticos se relacionan linealmente.
Sin embargo, mis estimados Steemians-lectores, Hay casos en los que no se cumple. Supongamos, por ejemplo, que una de las ondas tiene una amplitud tan grande que supera el límite elástico del medio. La fuerza de restitución ya no es directamente proporcional al desplazamiento de una partícula en el medio. Entonces, sin importar cual sea la amplitud de la segunda onda (incluso si es muy pequeña), su efecto en un punto no es una función lineal de su amplitud. Además, la segunda onda cambiará al pasar a través de la región no lineal y su comportamiento posterior se alterará. Esta situación surge sólo muy raramente y en la mayoría de los casos es válido el principio de superposición.
La figura 1 muestra una secuencia de tiempo de "instantáneas" de dos pulsaciones que viajan en direcciones opuestas en la misma cuerda tensa. Cuando las pulsaciones se superponen, el desplazamiento de la cuerda es la suma algebraica de los desplazamientos individuales de la cuerda provocados por cada una de las dos pulsaciones por separado, como lo exige la expresión (1). Las pulsaciones se mueven simplemente entrecruzándose viajando cada una de ellas como si la otra no existiera. En la figura 2 se muestra una animación de lo anteriormente dicho.
2. ONDAS ARMÓNICAS
2.1. DEFINICION
La expresión 
(que en el caso + representa una onda que viaja hacia la izquierda a lo largo del eje y en el caso - una que viaja hacia la derecha a lo largo del mismo eje, como se vio en el post 2), si bien es correcta, no obstante es de una generalidad tan amplia que su estudio no es sencillo y tampoco aportaría datos muy significativos. Por esta razón, es conveniente particularizar al caso de Ondas Armónicas. Ahora bien mis estimados Steemians:
Una Onda Armónica es aquella generada cuando la fuente que produce la perturbación describe un movimiento armónico simple, es decir, es aquella onda que está descrita por una función seno (onda senoidal o sinusoidal) o coseno (onda cosenoidal o cosinusoidal). |
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Aunque no es frecuente encontrar ondas perfectamente armónicas en la naturaleza, sí que muchas ondas pueden considerarse una composición de estas. Este hecho fue desarrollado por el matemático francés Jean-Baptiste-Joseph Fourier 1768 - 1830 y resumido en el teorema que lleva su nombre, el Teorema de Fourier, el cual fue completado por el matemático alemán Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet 1805 - 1859 y es comúnmente aplicado en diversos campos como, por ejemplo, las telecomunicaciones. Gracias al Teorema de Fourier es posible demostrar que toda función periódica continua, con un número finito de máximos y mínimos en cualquier período, puede desarrollarse en una única serie trigonométrica uniformemente convergente a dicha función, llamada Serie de Fourier.
La figura 3 ilustra lo antes dicho. Aquí la onda más compleja 
(en línea negra y gruesa), que representa una perturbación en unidades de longitud en el sistema de unidades MKSC, se puede obtener al sumar las ondas armónicas sencillas,
(en línea negra y gruesa), a partir de ondas armónicas más sencillas 
, 
, 
, 
y 
. (Esta imagen fue elaborada por mi persona @tsoldovieri, usando las aplicaciones MAPLE 18 y PAINT).2.1. REPRESENTACIÓN Y CARACTERÍSTICAS
Estimados Steemians, a partir de aquí pondremos especial atención a las ondas armónicas senosoidales (el texto es válido también para las cosenoidales).
para 
, 
y 
, en unidades del MKSC. (Esta imagen fue elaborada por mi persona @tsoldovieri, usando las aplicaciones MAPLE 18 y PAINT).Considérese como perfil o forma de la perturbación la función (ver figura 4),
donde 
es un parámetro positivo, 
está en radianes y el valor máximo de 
es , que se conoce como Amplitud de la Onda.
La Amplitud  de una Onda es el valor máximo que alcanza la perturbación en un punto y, por tanto, sus unidades son aquellas en que se mide la perturbación. En una onda transversal, la amplitud es la distancia máxima que separa cada punto de la onda de su posición de equilibrio. En una onda longitudinal, corresponde a la máxima compresión. |
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A los puntos más altos se les denominan Crestas y a los má bajos se le denominan Valles. En el caso de la propagación de una onda por una cuerda, la amplitud es la distancia máxima que separa cada punto de la cuerda de su posición de equilibrio y se expresará en unidades de longitud. Si se trata de ondas de presión en un gas, la amplitud de la onda representa la máxima presión que soporta un punto del gas y se expresará en unidades de presión.
para 
y 
, con 
, 
, 
y 
, en unidades del MKSC. (Esta imagen fue elaborada por mi persona @tsoldovieri, usando las aplicaciones MAPLE 18 y PAINT).Para representar con una onda progresiva armónica que viaje a velocidad 
en el sentido positivo de las 
, bastará escribir,
que corresponde al tipo de funciones 
, solución de la ecuación de onda.
La onda (5) tiene dos períodos diferentes, uno en el espacio 
Longitud de Onda y otro en el tiempo 
Período Temporal:
- Para el período espacial, un
debe dejar inalterada. Si se le suma a en el argumento de es posible escribir que,
(6) por lo que (5) se puede escribir ahora como,
(7) Por otro lado, se sabe que la función seno se mantiene inalterada cuando a su argumento se le suma
. Entonces se puede escribir que,
(8) Ahora, al igualar (7) con (8) resulta finalmente que,
(9) por lo que,
(10) entonces,
La Longitud de Onda  , es la distancia entre dos puntos consecutivos de una onda que tienen el mismo estado de vibración. En una onda transversal, la longitud de onda es la distancia entre dos crestas o valles sucesivos. En una onda longitudinal, corresponde a la distancia entre dos compresiones o entre dos enrarecimientos sucesivos. |
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Por ejemplo mis estimados Steemians, la longitud de onda de las olas marinas es la distancia entre dos crestas consecutivas o entre dos valles. La longitud de onda representa un concepto fundamental en la resolución de cualquier tipo de movimiento ondulatorio y puede variar de valores muy grandes, por ejemplo, cientos de metros para radioondas largas a valores muy pequeños de millonésimas de millón (
) para los rayos gamma.
- De forma análoga para el período temporal
,
(11) de aquí que (5) se pueda escribir como,
(12) Entonces al igualar este resultado con (8) se obtiene,
(13) de donde,
(14) Ahora, como las cantidades en (10) y (14) son todas positivas se puede escribir que,
(15) resultando,
(16) y
(17)
A la cantidad 
se le da el nombre de Número de Onda.
El Número de Onda es el número de longitudes de onda en la distancia  . |
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Finalmente, en base a todo lo anterior,
El Período Temporal , en el movimiento ondulatorio, es la cantidad de tiempo requerido para completar un ciclo completo de la onda, es decir por ejemplo, el tiempo entre dos crestas o dos valles consecutivos. |
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2.2. FASE, CONSTANTE DE FASE Y REPRESENTACIÓN MATEMÁTICA GENERAL
La Fase  de una onda armónica es el argumento de la función armónica (seno o coseno) que la describe, es decir, es el valor que toma el argumento de la función en la expresión matemática de la onda. |
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Para la función armónica (5) la fase viene dada por,
siendo el radián su unidad de medida en el Sistema Internacional. De una forma más general la fase viene dada por,
donde 
es la Fase Inicial o Constante de Fase.
La Fase Inicial o Constante de Fase  de una onda armónica es el valor de su fase cuando  y  . |
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El significado físico de la fase de una onda es el mismo que para los osciladores, la diferencia está en que en este caso la fase de la onda cambia tanto temporalmente como espacialmente 
.
En una onda viajera todos los osciladores contenidos en una longitud de onda tienen diferencias de fases que están entre 
y 
radianes, 
. Por cada período un oscilador se desfasa en radianes . Además dos osciladores que estén separados una distancia equivalente a una longitud de onda están desfasados en radianes.
De lo anterior se sigue que una forma más general de una onda senoidal puede escribirse como,
BIBLIOGRÁFICA RECOMENDADA
Soldovieri, Terenzio. FISICA GENERAL - Una introducción a los Fluidos, Vibraciones y Termodinámica. 1era edición (borrador), 2017. Puede descargarse desde mi web http://www.cmc.org.ve/tsweb/
Resnick, R. & Halliday, D. FISICA, volume 1. CIA Editorial Continental, SA de CV, México, 1984.
Serway, R. A. FISICA, volume 1. McGraW-Hill, Mexico, 4ta edition, 1997.
Giancoli, D. C. FISICA GENERAL, volume 1. Prentice-Hall Hispanoamericana, SA, México, 1988.
Alonso, M. & Finn, E. J. FISICA - MECANICA, volume 1. Fondo Educativo Interamericano, S.A., 1970. pp. 21 - 23 51 - 53.
Resnick, R.; Halliday, D. & Krane, K. S. FISICA, volume 1. Grupo Patria Cultural, S. A. de C. V., México, 2000.
Sears, F. W.; Zemansky, M. W.; Young, H. D. & Freedman, R. A. FISICA UNIVERSITARIA CON FISICA MODERNA, volume 1. Pearson Educación de México, S.A. de C.V., México, 11er edition, 2004.
Tipler, P. A. & Mosca, G. FISICA PARA LA CIENCIA Y LA TECNOLOGIA - MECANICA, OSCILACIONES Y ONDAS, TERMODINAMICA, volume 1. Editorial Reverté, S. A., 5ta edition, 2005.
Mis muy estimados Steemians-Lectores, espero que la anterior información les sea de mucha utilidad. Si tienen preguntas, no duden en hacérmelas llegar pues con mucho gusto les atenderé. Hasta mi próximo post ¡Saludos a todos! 😁.
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Hola mi steemado colega. Lo felicito por tan valiosa informacion sobre el tema de las ondas. Por el enfoque esta bueno para el tag o #matematica. Saludos @tsoldovieri
Muchas gracias mi steemado colega @moroso. Tomaré en cuenta tu sugerencia para próximos posts de este estilo. Saludos.
Excelente post @tsoldovieri. Es una fortuna que sean raros los casos donde el principio de superposicion no aplique. Me anima a publicar un articulo donde hare uso de el. Saludos
Muchas gracias @lorenzor. Anímate, excelente idea. Saludos.
Excelente, tus artículos son muy buenos y este no es la excepción te felicito es un placer leer este tipo de Post, me llama la atención la relación entre las ondas armónicas y el M.A.S debido a que es uno de mis temas favoritos.
Muchas gracias @ydavgonzalez. Si, existe una relación directa entre el Movimiento Armónico Simple y el Movimiento Circular Uniforme. En un post posterior podría hablar al respecto. Nuevamente, muchas gracias por tu comentario y apoyo. Saludos.
Interesante publicación acompañada de sus explicaciones gráficas. ¡Excelente!
Saludos profesor Terenzio Soldovieri @tsoldovieri
Muchísimas gracias amiga @maria1989. Me alegra que te haya gustado mi post. Siempre trato de hacer que mis posts de ciencia sean claros y sencillos, dentro de lo que me permita su contenido. Una vez más, gracias por tu comentario y apoyo. Saludos para ti y tu papá. 😁
Excelente y ameno post sobre el principio de superposición de ondas y ondas armónicas. Todo alumno de Física e Ingeniería quedaría fascinado al leerlo. Gracias hermano perijanero @tsoldovieri por llenar steemit con post sobre ciencia, de tan buena calidad.