STEM-CHESS: UN UNIVERSO DE MATEMÁTICAS PRESENTES EN EL AJEDREZ

Saludos estimados miembros de #stem-espanol y comunidad de Steemit en general, siguiendo la temática del conversatorio de la semana pasada organizado por mi persona junto a @eniolw, @eliaschess333 y @vjap55 en el Chat general del canal de Discord de #stem-espanol el cual tuvo como propósito:

Promover una socialización de saberes en torno al ajedrez, analizándolo desde el enfoque multidisciplinario de STEM, con el objeto de evidenciarlo como motivo de interés, investigación y aplicación científica.

Les presento este artículo enfocado en analizar la relación entre el deporte ciencia (el ajedrez) y las matemáticas, siendo el extenso de mi participación en dicho conversatorio.

Tablero de ajedrez. Fuente: PIRO4D(2017), Imagen de Dominio Público CC0. Disponible en Pixabay.

El ajedrez es un deporte en el que puede ser aplicado el método científico para analizar la naturaleza del juego, desde esta perspectiva una de las ciencias que tiene gran relevancia dentro del ajedrez es la matemática, la cual es la ciencia de los modelos y abstracciones, en este sentido, muchas de las situaciones que se presentan sobre el tablero de ajedrez pueden ser representadas mediante estructuras formales que si bien fueron creadas para otros propósitos tienen aplicaciones en el ámbito ajedrecístico.

En el presente artículo se abordarán una serie de aspectos matemáticos que intervienen sobre las 64 casillas del tablero de ajedrez. Para iniciar este artículo presentaré en primer lugar una leyenda muy famosa sobre el origen del denominado juego ciencia

La leyenda de los granos de arroz

Hace mil quinientos años, Kaid, un poderoso rey de la India, después de haber logrado todo lo que deseaba en la vida, terminó en un estado crónico de aburrimiento y tristeza. Kaid le pidió al sabio Sassa Ben Dahir que lo ayudara y éste inventó un juego para el rey: el ajedrez. El rey Kaid aprendió rápidamente, se entusiasmó y salió de su letargo. ─¿Cómo puedo recompensarte? ─le dijo. ─Su Majestad, ─respondió el sabio ─todo lo que pido es esto: coloquen un grano de arroz en la primera casilla del tablero, dos granos en la segunda casilla, cuatro granos en la tercera casilla y así, doblando los granos de arroz sucesivamente hasta llenar las 64 casillas─. Aunque al rey Kaid le pareció razonable, nunca podría llegar a cumplirlo.

En la imagen N° 1 podemos hacernos una idea de cuantos granos de arroz debía dar el rey al sabio.

Imagen N° 1 Granos de arroz por cada casilla del tablero según la promesa del rey Kaid al sabio Sassa. Fuente: Elaboración propia.

Es decir por la última casilla del tablero el rey debía darle al sabio

El total de granos de arroz se calcula sumando

Es decir la sumatoria de términos de una progresión geométrica de la forma

La suma de los términos de este tipo de progresión geométrica es igual a

Que para el caso de la leyenda de los granos de arroz

Es decir, 18 trillones de granos de arroz lo cual es equivalente a más de dos mil años de la cosecha mundial de este cereal, por lo tanto el rey no pudo cumplir su promesa.

El problema del caballo

Diversos problemas ajedrecísticos han atraído la atención de los matemáticos desde la antigüedad, uno de los ejemplos más conocidos de este tipo de situación lo constituye el denominado problema del caballo, el cual consiste en que dado un tablero de ajedrez y teniendo en cuenta el movimiento del caballo (en forma de L) se debe encontrar una secuencia de movimientos mediante los cuales un caballo iniciando en una de las casilla del tablero recorra todas las casillas pasando por cada una solamente una vez.

Hay dos tipos de soluciones, en las que el caballo regresa a su casilla inicial (camino cerrado) y en las que no regresa (camino abierto), en la imagen N° 2 podemos apreciar una solución típica al problema del caballo (camino cerrado) el número 1 indica la posición inicial del caballo y los números que siguen 2, 3, 4,… los siguientes movimientos.

Imagen N° 2 Solución típica al problema del caballo (camino cerrado). Fuente: Elaboración propia.

Este problema conocido desde la antigüedad se circunscribe dentro de la rama de la matemática conocida como teoría de grafos, específicamente el problema del caballo vendría a ser una variante del llamado problema del ciclo hamiltoniano el cual se centra en encontrar un camino hamiltoniano dentro de un determinado grafo.

Este problema ha sido abordado por diversos matemáticos entre los cuales destaca Leonhard Euler, también se han realizado diversos estudios sobre variantes del problema como hacer el recorrido en un tablero de 10x10.

Valor Material de las piezas

Cualquier jugador de ajedrez comprende la importancia del material (Número y tipo de piezas de cada jugador) en el desarrollo del juego, tanto es así que una ventaja de solo uno o dos peones suele ser decisiva para el resultado de la partida, poco se puede hacer cuando el adversario posee un alfil o caballo más que nosotros sino tenemos alguna compensación por ello.

Sin embargo, en diversas situaciones hay relaciones de material bastante heterogéneas, por ejemplo, un bando puede enfrentarse con dos torres y tres peones a dama y dos peones en cuyo caso es útil tener una forma de valorar estas posiciones.

Para analizar este tipo de situaciones se han creado una serie de valoraciones materiales que permiten cuantificar el valor de las piezas que posee cada jugador sobre el tablero, si bien es cierto que diversos autores indican diferentes valoraciones para cada pieza la mayoría coinciden en usar al peón como unidad de cálculo, de esta forma, el valor de las demás piezas se construye a partir de esta base, una valoración común es la siguiente:

Imagen N° 3 Ejemplo de Valoración material de las piezas de ajedrez. Fuente: Elaboración propia.

En base a esta valoración se puede establecer que una torre tiene un valor superior a un caballo o alfil (ventaja que suele denominarse calidad) y que la dama debido a su gran capacidad de movimiento posee un valor muy superior a las demás piezas.

Las partidas de jugadores aficionados suelen decidirse por alguna ventaja material obtenida por uno de los bandos en virtud de los errores de su oponente, sin embargo, en las partidas de alto nivel suele ser muy difícil obtener una ventaja material, razón por la cual intervienen otras consideraciones teóricas sobre la posición, es la acumulación de pequeñas ventajas lo que inclina la balanza hacia uno de los bandos.

Por otra parte, aunque existen una serie de valores materiales para cada pieza, la posición también influye en el valor real de cada pieza, en este sentido, se puede hablar de un valor dinámico el cual depende de la posición y modifica la valoración al momento de realizar el análisis.

¿Puede ser infinita una partida de ajedrez?

Una de las grandes preguntas sobre el ajedrez es si una partida puede ser infinita, es decir, si puede existir una secuencia de jugadas validas de manera que la partida nunca termine (asumiendo que no hay un control de tiempo que limite la duración de la partida), en relación a esta pegunta la FIDE (Federación Internacional de Ajedrez) ha establecido dos reglas que limitan la duración (en número de jugadas) de la partida:

1. Una partida es tablas si el jugador que está en juego reclama correctamente, cuando por lo menos por tercera vez la misma posición va a repetirse o acaba de producirse.
2. Una partida acaba en tablas cuando tras 50 movimientos (completados por blancas-negras o negras-blancas) no se ha movido peón alguno y ninguna pieza ha sido capturada.

En base a estas dos reglas se establece un límite máximo a la duración de la partida, por lo tanto las partidas de ajedrez poseen un número finito de jugadas.

Curiosidades matemáticas en el ajedrez

Hay diversos datos curiosos en los que las matemáticas nos muestran la gran complejidad del ajedrez, uno de ellos es el denominado número de Shannon el cual es una estimación de la complejidad del árbol de ajedrez, es decir, el número de partidas posibles.

Claude Shannon estimó este número teniendo en cuenta que en cada movimiento cada jugador posee un promedio de 30 opciones y como en cada partida se realiza una media de 40 jugados se cumple que el número de Shannon es aproximadamente igual a

En la actualidad aproximaciones más cercanas sitúan el valor del número de Shannon en 10¹²³, para hacernos una idea de lo grande que es este número debemos tener en cuenta que el número de átomos del universo se estima en 10⁸⁰, esto es un hecho impresionante existen más partidas de ajedrez posibles que átomos en el universo.

El ajedrez y la teoría de juegos

La rama de las matemáticas que se encarga de estudiar los juegos se conoce como teoría de juegos, esta disciplina se aplica al modelar los juegos y representarlos como estructuras matemáticas, también tiene una serie de aplicaciones en la economía y en diversas áreas de la actividad humana.

Dentro de la teoría de juegos el ajedrez se clasifica como un juego no cooperativo debido a que cada jugador basa sus elecciones en su beneficio personal, también es un juego de suma cero, es decir, la ganancia de un jugador se equilibra con las pérdidas del otro, por ejemplo cuando un jugador obtiene una pieza de ventaja, su valor material representa también la desventaja que tiene su adversario en ese momento.

Al momento de tomar decisiones los jugadores se basan en el Criterio Minimax (cada jugador debe minimizar su perdida máxima), esto es así en cada jugada, también se evidencia la casi absoluta ausencia de azar en el juego de ajedrez.

Algunos aspectos geométricos del ajedrez

El ajedrez se juega en un tablero de 64 casillas (8 filas por 8 columnas) cuyos colores se alternan entre blanco y negro (en algunos tableros esta combinación de colores puede variar), las piezas siguen reglas específicas para sus movimientos, por ejemplo, las torres en líneas rectas, los alfiles en diagonales por ejemplo.

Todas estas particularidades dotan al ajedrez de propiedades geométricas las cuales se ven reflejadas sobre el tablero, por ejemplo en el plano cartesiano la distancia más corta entre dos puntos es una línea recta, en cambio en el ajedrez el movimiento de algunas piezas no sigue esta regla, un claro ejemplo es el movimiento del rey (ver imagen N° 4)

Imagen N° 4 Recorrido del rey desde la primera hasta la octava fila. Fuente: Elaboración propia utilizando WinBoard.

En la imagen N° 4 se aprecia cómo el rey puede ir de la casilla e1 a la casilla e8 en solo 7 movimientos siguiendo una línea recta, sin embargo, también puede hacer ese recorrido por el camino que señalan las flechas a la derecha del rey y en este caso le toma de igual manera 7 movimientos, con lo cual se observa que el camino más corto no es solo la línea recta que une los dos puntos.

Otro aspecto importante sobre la geometría del ajedrez es la regla del cuadrado la cual establece que en un final de rey y peón vs rey si el peón está próximo a su coronación y el rey aliado no puede apoyarlo el peón logra coronar si el rey adversario no puede entrar en el cuadrado formado al contar las casillas que le faltan para coronar y extender un cuadrado con igual número de casillas en la dirección del rey adversario (ver imagen N° 5)

Imagen N° 5 Regla del cuadrado representada sobre el tablero de ajedrez, al peón negro solo le faltan tres (3) movimientos para coronar. Fuente: Elaboración propia utilizando WinBoard.

En cambio si el rey blanco logra entrar en el cuadrado, el peón es capturado en algún punto de su recorrido, como sucede en el ejemplo mostrado en la imagen anterior.

Otro de los aspectos de la geometría del tablero ajedrecista es la existencia del centro, el cual puede visualizarse en la siguiente imagen

Imagen N° 6 Centro del tablero de ajedrez. Fuente: Elaboración propia utilizando WinBoard.

Las 4 casillas dentro del cuadrado rojo representa el centro, su importancia no solo está en ser el centro geométrico del tablero, sino también en que el dominio de estas 4 casillas otorga al bando que las controla una ventaja posicional sustancial a lo largo de cada partida.

Sistema de Clasificación Internacional utilizado en el ajedrez, fundamentos matemáticos

La FIDE organización que rige el ajedrez a nivel internacional ha creado un sistema de clasificación o Ranking Internacional conocido como Ranking ELO, en honor a su creador Arpad Elo (1903-1992), en este sistema cada jugador posee un puntaje dependiendo de su fuerza de juego, el Ranking ELO posee una fundamentación matemática directamente relacionada con la función logística, en este sentido, si el jugador 1 tiene una puntuación ELO P_A y el jugador 2 una puntuación ELO de P_b, entonces el jugador 1 tiene una probabilidad a su favor de

Y respecto al jugador 2

Por ejemplo si el jugador 1 tiene 2000 puntos de ELO y el jugador 2 1600, el jugador 1 tiene una probabilidad a su favor de

Es decir, una probabilidad de 90,91% a su favor, de esta forma se puede evidenciar la base matemática de este sistema el cual es utilizado por la FIDE para clasificar a todos los ajedrecistas de las diferentes federaciones nacionales del mundo.

Referencias Bibliográficas y Material Consultado

1. González R. (2015), Matemáticas y Ajedrez, Universidad de Murcia trabajo de fin de grado.

2. Larousse del Ajedrez (2003). SPES Editorial.