Markov Zincirleri Part #1 - Nasıl Başladı?

Aslında bu yazıyı tek seferde yazıp bitirmeyi düşünüyordum fakat başlangıçtaki koşullar değişince parçalara bölmeye karar verdim. Böyle olduğu için şimdiden affınızı istiyorum ama umarım bir sonraki bölümde yazıyı tamamlayabilirim. Bu yazıda Markov Zincirlerinin çıkış nedenlerini sizlere anlatacak ve istatistiğe biraz da tarihsel yönden yaklaşarak sizlere Rus matematikçi Markov'un kişisel savaşının başlangıç nedenlerini açıklamaya çalışasacağım. Öyleyse başlayalım...

---

Kaynak: Pexels

---

Etrafımızdaki dünyayı gözlemlerken, çoğumuz çevremizde az çok heryerde karşımıza çıkan güzel bir ikilem olduğunu fark ediyor. Doğamızda hiçbir şey tam olarak birbirine benzemezken, aynı zamanda hepsi bazı temel formları takip ediyor gibi görünüyor. Hiçbir ağaç birbirine benzemese de onları ağaç yapan formlar benzer oluyor mesela.

Plato, evrenin gerçek formlarının bizden saklandığına inanan bir düşünürdü. Doğal dünyayı gözlemleyerek, yalnızca dünyada var olan formlarla ilgili bilgi edinebileceğimizi ve aslında bunların sadece gerçeğe giden yolda birer ipucu olduğunu söylemişti. Dünyanın asıl salt gerçeklerine sadece soyut felsefe ve matematik muhakemesi ile erişebilineceğini öne sürüyordu.

Mesela insan üretimi bir çember düşünün. Çember üzerindeki herbir nokta çemberin merkezine aynı uzaklıkta yer alır. Bu aslında doğada gördüğümüz çemberi mükemmelleştirmemizle oluşmuştur. Doğada gördüğümüz çember asla bu kadar düzgün bir şekilde işlenmemiştir. Plato ise çok çok uzun yıllar sonra doğanın da bu mükemmeliyetçi forma döneceğini ve bu tarz hatasız çemberleri etrafımızda göreceğimizi savunmuştur.

---

Plato, klasik Yunanistan'da yaşamış bir filozof ve batı dünyasının ilk yüksek öğrenim kurumu olan Atina Akademisi'nin kurucusuydu.
Kaynak: Arcdigital

---

Bu Platonik soyut formlara dayalı düşünce tarzı asırlarca popülerliğini korumuştur. Ta ki 16. yüzyıla kadar. 16. yüzyıl başlarında insanlar dünyadaki bu dağınık varyasyonları bir nebze kabul etmiş ve bu değişimlerin altında yatan nedenleri bulmak için matematiksel modeller oluşturmaya başlamışlardır.

Bu neslin öncülerinden Bernoulli, "beklenti fikri"ni ortaya atmıştır. Bernoulli'nin yöntemi; herhangi bir olayın önceden bilinmeyen olasılığını şöyle hesaplar. Bernoulli olayın bağımsız denemlerde kaç kez gerçekleştiğini hesaplar ve bunu da aynı olayın olabilme olasılığını doğru olarak tahmin etmek için kullanır. Bunu günlük hayatımızda [yazar burada iddaa oynayanlara sesleniyor.] çok fazla kullanmamıza rağmen matematiksel olarak ifade eden ilk düşünürlerden birisi Bernoulli diyebiliriz.

---

Daniel Bernoulli isviçreli matematikçi ve fizikçiydi ve Bernoulli ailesindeki önemli matematikçilerden biriydi.
Kaynak: Famous Mathematicians

---

---

Bernoulli peki matematik dünyasını nasıl ikna etti?

---

Buyrun birlikte bakalım. Kendisi çok basit bir örnekle açıklıyor bunu. Bir torbamız olsun ve bunun içinde 3000 beyaz ve 2000 siyah misketimiz olsun. Farzedelim ki biz beyaz ve siyah misketlerin oranını bilmiyoruz. Yapacağımız şey birbirinden bağımsız şekilde torbadan misketler çekmeye başlamak ve daha sonrasında hangi renkten kaç tane çektiğimizi not almak. Tabi ki çektiğimiz misketleri torbaya geri bırakıyoruz.

---

Kaynak: Pexels

---

Ne kadar çok deneme yaparsak gerçek orana o kadar yaklaştığımızı sizler de evde deneyebilirsiniz. Tabi ki 5000 tane miskete gerek yok daha ufak bir rakamla da bu deneyi tekrarlamak mümkün. Sonuç olarak Bernoulli dedi ki

---

Eğer tüm olayların gözlemlerinin tüm sonsuzluk içinde devam ettiğini kabul edersek, dünyadaki her şeyin birtakım kesin oranlar ve süregelen bir değişim yasası tarafından yönlendirildiğini görürüz.

---

Bu fikir hızlıca bilim dünyasında yayıldı. Bilimadamları sadece olayların beklenen bir (ortalama) olasılıkla gerçekleştiğini farketmedi, ayrıca ortalamadan uzaklaşma (varyasyon) olasılığının da belirli bir dağılımı izlediğinin de farkına vardılar. Bir anda herkesin dikkati bu olasılık dağılımlarında yoğunlaştı.

Bunun en harikulade örneği Francis Galton'un fasulye makinesidir. Buradaki her fasulye çarpışmasının birbirinden bağımsız bir olay olarak düşünün. Mesela bozuk para atıp yazı mı tura mı geldiğine bakmak bir bağımsız olaydır. Bir sonraki paranın yazı ya da tura gelmesi bir öncekinden bağımsızdır. Bu makinede de fasulyelerin sağa ya da sola gitmesi birbirinden bağımsız. Makinenin sonunda bu çarpışmalar sonucunda fasulyeler belirli kolonlarda birikmektedirler. Bütün çarpışmalar sonucu ne olduğunu görmek istersiniz diye de sizin için şu alttakini ekledim:

---

Galton Makinesi

---

Binom dağılımı olarak da bilinen bu genel eğrilik ideal bir form gibi görünmekte ve çok sayıda rastgele denemenin sonucunda hemen hemen her yerde de ortaya çıkmaktadır. Bu da insanlarda, bazı olayların sonuçlarının aslında merkezi limit teoremi adı altında önceden belirli olduğu algısını uyandırmıştır. Tabi ki bu düşünce tarzı kimileri için hiç de yenilecek yutulacak bir şey değildi. Aksine tehlikeli bir felsefi fikirdi çünkü insanların kaderi kendi elindedir gibi bir dini bilgiyi bir şekilde inkar ediyordu.

---

İngiliz Francis Galton sadece bir psikolog değil aynı zamanda victoria dönemine ait bir istatistikçi, ilerici, polimatik, sosyolog, antropolog, öjenist, tropikal araştırmacı, coğrafyacı, mucit, meteorolog, proto-genetikçi ve psikometriktir.
Kaynak: Famous Psychologists

---

Aslen ilahiyatçı olan Pavel Nekrasov, matematik bilgisini de geliştirerek bu yazılmış kaderin değişmemesi algısını yıkmaya çalışanların önünde gelmiştir. İnsanların özgür iradeye sahip olduğunun altını çizmiş ve önceden berlilenmiş istatistiksel kaderlere sahip olmamızın yanlış olduğunu savunmuştur.

---

Rus mateamatikçi ve ilahiyatçı Pavel Nekrasov
Kaynak: Wikimedia commons

---

Nekrasov büyük sayılar kanunundaki en önemli gereksinimin olayların birbirinden bağımsız olması olduğunu belirtmiştir. Büyük sayılar kanunu ne diyordu, elimizde bir konu olay hakkında yeterince gözlem varsa ne olacağını az çok hesaplayabilecek bir olasılık dağılımına sahip oluruz. Nekrasov olaylar arasındaki bağımsızlığı öne atıyordu çünkü bir olayın olmasının başka bir olay üzerinde etkisi olmaması bir nevi özgür iradeyi temsil eden bir bayrak direğiydi. Kısacası önceki olayarın sonuçları mevcut ya da gelecekteki olayların olasılığını değiştirmiyordu.

---

Sizce de bu mantıksız değil mi peki? Ben kendi etrafıma baktığımda çoğu olayın bir önceki olayların sonuçlarıyla açıklanabileceğini görüyorum.

---

Tabi ki bizim gibi düşünen biri çıkıverdi o günlerde. Rus Matematikçi Andrey Markov. Nekrasov'un bu zorlama teorisi Markov'u inanılmaz derecede sinirlendirmiş ve ona büyük bir düşmanlık beslemesine vesile olmuştur. Tarihe altın harflerle yazılan bu düşmanlık sonucunda da Markov Zincirleri ortaya çıkmış ve ezber bozan yeni bir istatistik bilmi dönemi başlamıştır...

İşlerin yoğunlaşmasından dolayı geri kalan kısmını Part #2 olarak yazmayı düşünüyorum,
Takipte kalın! Sağlıcakla,
@steinhammer

---

Referanslar ve meraklısı için kaynaklar

---

http://cdn.intechweb.org/pdfs/15369.pdf
https://www.dartmouth.edu/~chance/teaching_aids/books_articles/probability_book/Chapter11.pdf
https://www.americanscientist.org/article/first-links-in-the-markov-chain

Kısmen ingilizceden çevrilmiştir.