Czy znajomość matematyki pomaga podejmować lepsze decyzje?
"Do czego mi się to przyda w życiu?" Czy w "waszej" szkole koleżanki i koledzy (a może i Wy sami?) zadawali(ście) takie pytanie na lekcjach matematyki? Zawsze ktoś w klasie rzucał klasykiem: "żeby Cię w sklepie nie oszukali." :D Czy to jedyne w czym pomocna jest znajomość "królowej nauk"?
W tym tygodniu na #polish pojawiły się dwa ciekawe wpisy (polecam przeczytać!) do których chciałbym nawiązać i rozwinąć temat na konkretnych przykładach.
@who-knock o tym czym możemy się kierować podejmując decyzje
Rachunek prawdopodobieństwa w loteriach.
Dlaczego Lotto czy inne loterie zarabiają? Oszukują? A może "wykorzystują" matematykę w swoim biznesie? Wystarczy ustawić wypłatę za los, który ma prawdopodobieństwo wygranej 1% z mniejszym przelicznikiem niż 100x (100 razy cena losu). Zobaczmy na przykładach:
Pierwszy od góry to "uczciwy" przelicznik. Mamy 1% szansy na wygraną (wybieramy jedną kulkę ze stu), a gdy trafimy to wygrywamy 100x cena zakupionego losu. Oczywiście twórca loterii nie może sobie pozwolić na takie wypłaty, ponieważ musi doliczyć koszty organizowania takiej loterii jak pensje pracowników, reklamę, wynajem pomieszczeń, zakup maszyn itp. Nie zarabiałby na takim modelu wypłat. Dlatego też musi on obniżyć mnożnik, aby zarobić na tym przedsięwzięciu.
Dla przykładu taką "marżę" na kuponie w grze "Multi Multi" ma Lotto:
Weźmy najprostszą wersję - wybieramy jedną z dwudziestu liczb. Mamy szanse na wygraną = 20/80 (wszystkich kul jest 80, o ile dobrze kojarzę, a losowanych jest 20), a więc 1/4. Czyli 25%. Lotto wypłaci nam 4 zł, a zażyczy sobie za taki kupon 2,5 zł. Co prawda nie 100% z tej kwoty trafia do Lotto, ale jakie to ma znaczenie dla grających? Liczy się ile kosztuje los i ile wygrasz jak trafisz. Średnio gracz traci 1,5 zł na każdym kuponie, a więc aż 60%!
W uproszczeniu gracz kupi 4 zakłady (wyda 10 zł), a raz (25%) wygra 4 zł.
Orzeł czy reszka z rachunkiem prawdopodobieństwa w tle.
Trafiłem na pewien film na yt, ale zanim go obejrzysz to spróbuj odpowiedzieć na następujące pytanie:
Czy przyjąłbyś zakład: rzucasz monetą, jeżeli wypadnie orzeł wygrywasz 10 zł, jeżeli reszka tracisz 10 zł. Możesz rzucać "Twoją" monetą, żeby nie było podejrzeń o jakiś fortel.
Jeżeli się nie zgodziłeś, to mam kolejną propozycję wygrywasz 12 zł, a przegrywasz 10 zł na identycznych zasadach.
Bardzo upartym osobom mogę zaoferować 15 zł w przypadku Twojej wygranej i 10 zł w przypadku porażki.
Ostatnia oferta to 20 zł dla Ciebie w przypadku orła i 10 zł dla mnie w przypadku reszki.
Czy i na którą propozycję się zgodziłeś/zgodziłaś?
Czym się kierujesz podejmując decyzję?
- Czy Twoje argumenty są racjonalne i logiczne?
- Czy może większy wpływ mają emocje? "Co będzie jak stracę 10 zł?" "Bardziej boję się stracić 10 zł niż wygrać 20 zł".
- A może rozumiesz rachunek prawdopodobieństwa i długo byś się nie wahał nad odpowiedzią?
Tak to wygląda w umyśle matematyka:
Nie ma tu żadnej psychologii i decyzja jest prosta. Natomiast część (większość?) ludzi nie przyjęło by tego zakładu. Pewna niewiasta z filmiku powiedziała nawet, że nie zagra nawet przypadku wygranej 50 do 10, a starszy pan z "ciężkim sercem" by się zgodził przy takiej propozycji. ;)
Ta sama dziewczyna przy kolejnej propozycji "proponuję 20 zł jak wygrasz i -10 zł jak przegrasz, ale rzucimy 10 razy pod rząd" pierwszą rzeczą o jakiej pomyślała, że może nawet stracić nawet 100 zł. Widząc, że nie wie o co chodzi autor filmiku proponuje jej nawet 100 rzutów (wartość oczekiwana dla dziewczyny - 500 zł zysku)!!! W ciągu sekundy odmawia. ;)
Jak widzimy emocje mogą wpływać na nasze decyzje. Co ciekawe w przypadku loterii jest zupełnie odwrotnie. To marzenia o wielkiej wygranej przesłaniają nam prawdziwy obraz, a więc sporą stratę na każdym zakupionym losie. ;)
Paradoks Monty'ego Halla
Kilkanaście lat temu w TV był nadawany teleturniej "Idź na całość". Skupię się na etapie, gdzie uczestnik ma do wyboru trzy "bramki". Za jedną z nich jest samochód, a dwie są puste (jest w nich tzw. zonk - pluszowa maskotka). Po decyzji uczestnika teleturnieju (wybrał bramkę nr 1) prowadzący "odsłania" jedną bramkę, w której nie ma samochodu (bramka nr 2). I teraz pojawia się kluczowa propozycja: "możesz zmienić swój wybór". Uczestnik staje przed decyzją. I znowuż czym się kieruje?
- "To mój pierwszy wybór, będę się tego trzymał."
- Może prowadzący wie, że wybrałem samochód i chce, żebym przegrał?
- Co jak nie zmienię decyzji i przegram? Co jak zmienię wybór bramki i przegram? "Sąsiedzi w TV zobaczą i będą mi dogryzać." :D
- W tle tłum krzyczy "Idź na całóść"!
- Dochodzi zdenerwowanie.
A jaką decyzję podjąłby matematyk?
Na początku szanse na samochód wynosiły 33,3% (1 do 3). Po odsłonięciu jednej pustej bramki nasze szanse wynoszą 50% (1 do 2). Czy w ogóle jest sens zmienić decyzję czy jest to bez znaczenia?
Ponieważ teleturniej jest cykliczny to wiemy, że prowadzący zawsze odsłania jedną pustą bramkę (aby przedłużyć zabawę, w końcu to najlepszy moment dla widowni). Możemy wykorzystać tą informację na naszą korzyść. Zobaczmy co się stanie w każdym z trzech możliwych scenariuszy:
W przypadku upartego co do swojego pierwszego wyboru uczestnika szansa na samochód wynosi 33,3% (1 do 3), a w przypadku zmiany bramki aż 66,6% (2 do 3). Dlatego, wbrew pozorom, zmiana decyzji ma znaczenie.
Problem był poruszony m.in. w filmie "21", który jest oparty na historii ludzi, którzy, a jakby inaczej, potrafili "wykorzystać rachunek prawdopodobieństwa" do stworzenia sobie przewagi w grze w "oczko" z kasynem. ;)
Grasz czy nie grasz?
Jeszcze jeden przykład. Teleturniej "Deal or no deal", a w Polsce "Grasz czy nie grasz". Gracz wybiera jedną walizkę (z 26), w której może być 1 gr, 20gr, 50 gr, aż do 300000zł, 500000zł, 1000000zł. Następnie stopniowo odsłaniana jest zawartość 25 walizek, których nie wybrał. Po każdym etapie (kilku walizkach) "bankier" proponuje uczestnikowi układ: "zrezygnuj teraz w zamian za określoną kwotę pieniędzy". Znalazłem ekstremalny przypadek, gdzie "szczęśliwiec" w ostatnim etapie miał tylko dwie walizki - 1 $ i 1 000 000 $. Dostaje propozycję "416 000$". Wartość oczekiwana jego wygranej to 500000.5$ Oczywiście przed ostatecznym wyborem pojawiają się ogromne emocje, które potęgują jeszcze jego rodzina i znajomi. Warto posłuchać. :D
Uczestnik nie zgadza się na "deal" i wygrywa ... 1 $. Oczywiście pewnie "nie miał życia" przez jakiś czas i większość jego znajomych uważała, że popełnił złą decyzję, jednak jest zupełnie inaczej. :) Przynajmniej w teorii...
źródła:
https://pl.wikipedia.org/wiki/Paradoks_Monty%E2%80%99ego_Halla
https://pl.wikipedia.org/wiki/Id%C5%BA_na_ca%C5%82o%C5%9B%C4%87
https://en.wikipedia.org/wiki/Deal_or_No_Deal
https://pl.wikipedia.org/wiki/Grasz_czy_nie_grasz
Post uczestniczy w Tematach Tygodnia #28 jako riposta do:
https://steemit.com/polish/@who-knock/dysfunkcje-spoleczne-xxi-wieku-1-zorientownie-na-wynik
Zdjęcia: https://pixabay.com
Miłego dnia.
W tym przykładzie "grasz czy nie grasz" gracz z życiowego punktu widzenia podjął złą decyzję. Matematycznie dobrą, ale życie to nie tylko matematyka! 416 000$ to tzw. "life changing money". Mieć tyle, a nie mieć to ogromna różnica. A mieć 400tys czy milion to różnica jest już mniejsza (bo to i tak bardzo dużo :)). Gracz nie ma szansy stanąć drugi raz przed takim wyborem, więc tu rachunek prawdopodobieństwa się wykoleja. Czy warto ryzykować 50/50 dla dodatkowych 84 000? Bo tyle wynosi wartośc oczekiwana po odjęciu nagrody gwarantowanej.
Podsumowując: ktoś kto już mam miliony, będzie się kierował matematyką, ale przeciętny gracz teleturniejowy raczej ich nie ma, więc powinien spojrzeć na ten wybór bardziej życiowo.
Czy złą decyzję to nie powiedziałbym, na pewno zaryzykował. Nie wiem na ile potrzebował tych 416 k i czy rzeczywiście to było dla niego być albo nie być. ;)
Tak samo ludzie zazwyczaj ubezpieczają dom czy samochód, bo w przypadku pożaru czy kradzieży jest to dla nich bardzo duża strata i w zamian za komfort psychiczny są w stanie zapłacić więcej niż wynosi prawdopodobieństwo pożaru, a na tej różnicy zarabia ubezpieczyciel.
Bardzo ciekawy artykuł. Sam uważam, że historia jest królową nauk. Historia magistra vitae :) Pozdrawiam.
Historię piszą zwycięzcy, a liczby nigdy nie kłamią. :P
Dokładnie, próbuję ludziom zwracać uwagę na te sprawy od lat :) Dobry post, często polecam książkę Matematyka Niepewności w tym temacie
W grze: "Idź na całość" po odrzuceniu jednej bramki szansa wynosi 50/50, także zamiana nic nie daje z matematycznego punktu widzenia, bo nadal jest 50/50. Chyba,że coś źle zrozumiałem.
Przypatrz się tamtej tabelce w Excelu, tam widać jak na dłoni czemu szansa wzrasta. A w sumie to najlepiej sobie po prostu samodzielnie to rozpisać i się przekonać :)
W tabelce masz pokazane wszystkie możliwe scenariusze (są 3). Chyba mało czytelnie to przedstawiłem.
Kluczowa jest tu informacja, że prowadzący zawsze odsłoni jednego zonka i da nam możliwość ponownego wyboru. Jeżeli odsłaniałby losową bramkę (w tym również tą z samochodem) to wówczas byłoby bez znaczenia zmienianie bramki.
Decyzję podejmuję się po odrzuceniu jednej bramki. W tabeli jest to przedstawione tak jakby do wyboru były nadal 3 bramki a nie 2
Przyjemnie się czytało :). Matematyka to nauka interdyscyplinarna par excellence. Oprócz czystego rachunku prawdopodobieństwa, który stosunkowo nie dawno wszedł w ramy matematyki - rozwija wyobraźnię, logiczne myślenie i... długo by jeszcze wymieniać. Same plusy :)
@makroslaw @kryptojanusz Panowie co do 2 przykładu, jest tu oczywisty błąd (branie takiego 'high variance' spota) - podejmowanie decyzji w oparciu o EV bez uwzględniania Variancu i long runu jest procedurą generującą błędne decyzje. Temat przerabiałem praktycznie więc wiem co mówię (w Pokerze korzysta się kilku modeli tj. nash, icm , ev, eq etc. które w zależności od parametrów wewnętrznych mają zastosowanie lub nie : np "sprawdzając w grze cashowej spot dla nas +EV a pasując w satelicie przy dokładnie identycznej sytuacji teoretycznej ale mając już zagwarantowany bilet... )... Generalnie jeżeli nie jesteśmy w stanie zrelizować longrunu to w pierwszej kolejności patrzymy na Variance ... dla tej konkretnej sytuacji jest to NO BRAINER spot gdzie kolokwialnie mówiąc bierzmy $ (nie potrzeba nawet tego liczyć ).....
Tylko, że przy ICM w satelicie uwzględniasz kwotę nagrody (czyli wartość ticketu), a nie tylko, że masz przewagę % w tym konkretnym rozdaniu. Stąd poprawnym zagraniem jest nawet zrzucenie asów przed flopem w niektórych przypadkach.
Dokładnie to napisałem powyżej ;) Model ten nie bierze się "z pokera" tylko jest zastosowany "w pokerze". Wymieniona przez Ciebie sytuacja jest idealnym przykładem pokazującym, że sama wartość oczekiwana musi mieć możliwość realizacji żeby sama w sobie była/ mogła być przedmiotem podejmowania decyzji... nie chcę pisać ściany tekstu więc może poruszę ten temat przy okazji podcastu ...